דלג לתוכן

חקירה של פונקציה רציונלית

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

חקירה של פונקציה רציונלית

שלבי החקירה

חקירה של פונקציה היא רשימה של שאלות קבועות, שהתשובות עליהן יחד נותנות את צורת הגרף:

  1. תחום ההגדרה – כל x\displaystyle x חוץ מנקודות האפס של המכנה;
  2. אסימפטוטות מאונכות לצירים – אנכיות בנקודות שאינן בתחום, ואופקית כש-x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty;
  3. נקודות החיתוך עם הצירים – עם ציר x\displaystyle x: f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0}; עם ציר y\displaystyle y: f(0)\displaystyle f(0), אם 0 בתחום;
  4. הנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x), והפתרונות של f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0};
  5. טבלת הסימן של f′\displaystyle f' – ממנה תחומי העלייה והירידה וסוג כל נקודת קיצון;
  6. סקיצה של הגרף.
טבלת הסימן של f′\displaystyle f'

f′\displaystyle f' יכולה להחליף סימן רק בנקודה שבה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}, או בנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת. לכן:

  • מסמנים על ציר x\displaystyle x את שני סוגי הנקודות, לפי הסדר;
  • בכל תחום שביניהן מציבים ב-f′\displaystyle f' מספר אחד, ורואים את הסימן;
  • f′>0\displaystyle f'>0 – הפונקציה עולה; f′<0\displaystyle f'<0 – הפונקציה יורדת;
  • בנקודה שבה f′=0\displaystyle {f'}={0} והסימן מתחלף מ-+\displaystyle + ל-−\displaystyle - יש מקסימום, ומ-−\displaystyle - ל-+\displaystyle + – מינימום;
  • בנקודת אי־הגדרה אין קיצון, גם כשהסימן מתחלף בה: אין שם נקודה של הגרף.
דוגמה

f(x)=x2x−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^{2}}{x-1}}.
בחקירה שלפניכם נעבור על השלבים לפי הסדר:

  • תחום ההגדרה: x≠1\displaystyle x\neq1.
  • אסימפטוטות: x=1\displaystyle {x}={1} – אנכית. כש-x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty, המונה גדל מהר יותר מהמכנה, ו-f\displaystyle f לא מתקרבת למספר: אין אסימפטוטה אופקית.
  • חיתוך עם הצירים: f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0} רק כש-x=0\displaystyle {x}={0} – הנקודה (0,0)\displaystyle (0,0).
  • f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}}={\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}}, ו-f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} כש-x=0\displaystyle {x}={0} או x=2\displaystyle {x}={2}.
  • טבלת הסימן – הנקודות 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 (אי־הגדרה) ו-2\displaystyle 2:
x\displaystyle xx<0\displaystyle x<00\displaystyle 00<x<1\displaystyle 0<x<11\displaystyle 11<x<2\displaystyle 1<x<22\displaystyle 2x>2\displaystyle x>2
f′(x)\displaystyle f'(x)+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -אין−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
f(x)\displaystyle f(x)עולהמקסימוםיורדתאיןיורדתמינימוםעולה
  • f(0)=0\displaystyle {f(0)}={0} ו-f(2)=41=4\displaystyle {f(2)}={\frac{4}{1}}={4}: מקסימום (0,0)\displaystyle (0,0) ומינימום (2,4)\displaystyle (2,4).
f(x)=x2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}
x=1\displaystyle x=1
(0,0)\displaystyle (0,0)
(2,4)\displaystyle (2,4)

המינימום (2,4)\displaystyle (2,4) גבוה מהמקסימום (0,0)\displaystyle (0,0): הם בשני ענפים של הגרף, משני צדי האסימפטוטה x=1\displaystyle {x}={1}.

תרגיל 1

f(x)=−x2+2x+3x2\displaystyle {f(x)}={\frac{-x^{2}+2x+3}{x^{2}}}.

א

מצאו את תחום ההגדרה, וכתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של f\displaystyle f המקבילות לצירים.

f(x)=−x2+2x+3x2\displaystyle f(x)=\frac{-x^{2}+2x+3}{x^{2}}

ב

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

    ג

    מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

    f(x)=−x2+2x+3x2\displaystyle f(x)=\frac{-x^{2}+2x+3}{x^{2}}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ד

      פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

      ה

      כתבו את טבלת הסימן של f′\displaystyle f', ואת תחומי העלייה והירידה של f\displaystyle f.

      ו

      סמנו את נקודת הקיצון של f\displaystyle f. מה סוגה?

      f(x)=−x2+2x+3x2\displaystyle f(x)=\frac{-x^{2}+2x+3}{x^{2}}
      x=0\displaystyle x=0
      y=−1\displaystyle y=-1

      תרגיל 2

      f(x)=xx2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^{2}+1}}.

      א

      מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

      f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

          ג

          סמנו את נקודות הקיצון של f\displaystyle f.

          f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

          ד

          ל-f\displaystyle f אין אסימפטוטה אנכית. למה? מהי האסימפטוטה האופקית שלה?

          תרגיל 3

          f(x)=4x2−4\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x^{2}-4}}.
          מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

          f(x)=4x2−4\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            בטבלת הסימן של f′\displaystyle f' יש שלוש נקודות: שתי נקודות אי־הגדרה ונקודה אחת שבה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}. כתבו את הטבלה, את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון.