חקירה של פונקציית שורש

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

חקירה של פונקציית שורש

שלבי החקירה

חקירה של פונקציית שורש עוברת את אותם שלבים כמו חקירה של פונקציה רציונלית, ועוד שלב אחד – הקצוות של תחום ההגדרה:

תחום ההגדרה: הביטוי שמתחת לשורש גדול מ-0 או שווה לו.
הנגזרת, כשבר אחד.
הנקודות שבהן $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , בתוך התחום.
הסימן של $\displaystyle f'$ בין הנקודות האלה: $\displaystyle f'>0$ – עולה, $\displaystyle f'<0$ – יורדת.
נקודות הקיצון: בפנים – איפה ש- $\displaystyle f'$ מחליפה סימן; ובקצה של התחום.
נקודות החיתוך עם הצירים, ואז סקיצה.

קיצון בקצה תחום ההגדרה

בקצה של תחום ההגדרה הגרף מתחיל או נגמר. אם הוא יורד אל הקצה, הקצה נמוך מכל הנקודות הקרובות אליו – נקודת מינימום בקצה. אם הוא עולה אל הקצה – נקודת מקסימום בקצה.

הנגזרת בקצה לא חייבת להיות 0, ולרוב היא לא מוגדרת שם: השורש במכנה שלה הוא 0.
לכן את הקצוות בודקים בנפרד: מציבים אותם בפונקציה, ומסתכלים אם היא עולה או יורדת לידם.

דוגמה

$\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{6-x}}$ .
בחקירה שלפניכם נמצא את התחום, את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה:

תחום ההגדרה: $\displaystyle 6-x\geq0$ , כלומר $\displaystyle x\leq6$ .
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={\sqrt{6-x}-\frac{x}{2\sqrt{6-x}}}={\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש- $\displaystyle {12-3x}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={4}$ ; $\displaystyle {f(4)}={4\sqrt{2}}$ .
הסימן של $\displaystyle f'$ : המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא של $\displaystyle 12-3x$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<4$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4<x<6$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	לא מוגדרת
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום בקצה

$\displaystyle (4,4\sqrt{2})$ – נקודת מקסימום; $\displaystyle (6,0)$ – נקודת מינימום בקצה התחום.
נקודות החיתוך עם הצירים: $\displaystyle (0,0)$ ו- $\displaystyle (6,0)$ .

\displaystyle f(x)=x\sqrt{6-x}

\displaystyle M=(4,5.66)

\displaystyle B=(6,0)

כש- $\displaystyle x$ קטן מאוד, $\displaystyle x$ שלילי גדול ו- $\displaystyle \sqrt{6-x}$ גדל, ולכן $\displaystyle f$ יורדת בלי סוף שמאלה. ל- $\displaystyle f$ אין ערך גדול מ- $\displaystyle 4\sqrt{2}$ , אבל אין לה ערך קטן ביותר.

תרגיל 1

$\displaystyle {f(x)}={(x-3)\sqrt{x}}$ , ותחום ההגדרה שלה $\displaystyle x\geq0$ .

גזרו את $\displaystyle f$ , וכתבו את הנגזרת כשבר אחד.

$\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הלוח את נקודת הקיצון הפנימית של $\displaystyle f$ ואת נקודות החיתוך שלה עם ציר $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}

מה סוג נקודת הקיצון הפנימית? איזו נקודת קיצון יש בקצה התחום, ומאיזה סוג? כתבו את תחומי העלייה והירידה.

תרגיל 2

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-4}}$ .
תחום ההגדרה: $\displaystyle x\leq-2$ או $\displaystyle x\geq2$ .

גזרו את $\displaystyle f$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ . שימו לב: פתרון שאינו בתחום ההגדרה אינו פתרון.

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-4}

באילו תחומים $\displaystyle f$ עולה, ובאילו יורדת? מהן נקודות הקיצון שלה?

תרגיל 3

$\displaystyle {f(x)}={x+2\sqrt{1-x}}$ , ותחום ההגדרה שלה $\displaystyle x\leq1$ .

גזרו את $\displaystyle f$ .

$\displaystyle f(x)=x+2\sqrt{1-x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הלוח את נקודת הקיצון הפנימית.

\displaystyle f(x)=x+2\sqrt{1-x}

חשבו את $\displaystyle f(1)$ . מה סוג הנקודה $\displaystyle (1,f(1))$ ? האם יש ל- $\displaystyle f$ ערך קטן ביותר?

\displaystyle f(1)

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$