דלג לתוכן

אחת חלקי פונקציה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

אחת חלקי פונקציה

הפונקציה 1f(x)\displaystyle \frac{1}{f(x)}

בשיעור הזה f(x)\displaystyle f(x) הוא פולינום ממעלה שנייה לכל היותר, ו-g(x)=1f(x)\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}.
הערך של g\displaystyle g בכל x\displaystyle x הוא 1 חלקי הערך של f\displaystyle f באותו x\displaystyle x:

  • f(x)=2\displaystyle {f(x)}={2} – אז g(x)=12\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{2}};
  • f(x)=−4\displaystyle {f(x)}={-4} – אז g(x)=−14\displaystyle {g(x)}={-\frac{1}{4}};
  • f(x)=0.01\displaystyle {f(x)}={0.01} – אז g(x)=100\displaystyle {g(x)}={100}: ערך קטן של f\displaystyle f נותן ערך גדול של g\displaystyle g.

כך אפשר לדעת איך נראה הגרף של g\displaystyle g מתוך התכונות של f\displaystyle f, בלי נגזרת.

התכונות של g\displaystyle g מתוך f\displaystyle f
  • תחום ההגדרה: כל x\displaystyle x חוץ מנקודות האפס של f\displaystyle f – אין חילוק ב-0.
  • אין נקודות חיתוך עם ציר x\displaystyle x: שבר שהמונה שלו 1 אף פעם אינו שווה ל-0.
  • חיוביות ושליליות: g\displaystyle g חיובית בדיוק איפה ש-f\displaystyle f חיובית, ושלילית איפה ש-f\displaystyle f שלילית.
  • עלייה וירידה: בכל תחום שבו f\displaystyle f אינה מתאפסת, כש-f\displaystyle f עולה g\displaystyle g יורדת, וכש-f\displaystyle f יורדת g\displaystyle g עולה – מספר גדול יותר במכנה נותן שבר קטן יותר.
  • נקודת קיצון: בקודקוד של f\displaystyle f, אם הוא לא על ציר x\displaystyle x, יש ל-g\displaystyle g נקודת קיצון מהסוג ההפוך: מינימום של f\displaystyle f שערכו m\displaystyle m הוא מקסימום של g\displaystyle g שערכו 1m\displaystyle \frac{1}{m}, ולהפך.
  • נקודות משותפות: איפה ש-f(x)=1\displaystyle {f(x)}={1} או f(x)=−1\displaystyle {f(x)}={-1}, גם g(x)\displaystyle g(x) שווה לאותו מספר, והגרפים נפגשים.
אסימפטוטות מאונכות לצירים

אסימפטוטה היא ישר שהגרף מתקרב אליו יותר ויותר, ככל שמתקדמים לאורכו. ל-g\displaystyle g יש שני סוגים של אסימפטוטות, מאונכות לצירים:

  • אסימפטוטה אנכית: ליד נקודת אפס x=a\displaystyle {x}={a} של f\displaystyle f, הערכים של f\displaystyle f קרובים ל-0, ולכן הערכים של g\displaystyle g רחוקים מאוד מ-0 – גדולים מאוד, חיוביים או שליליים. הגרף מתקרב לישר x=a\displaystyle {x}={a} ולא נוגע בו.
  • אסימפטוטה אופקית: כש-x\displaystyle x גדל מאוד (x→∞\displaystyle x\to\infty) או קטן מאוד (x→−∞\displaystyle x\to-\infty), פולינום ממעלה ראשונה או שנייה מתרחק מ-0, ולכן g\displaystyle g מתקרבת ל-0. הישר y=0\displaystyle {y}={0} – ציר x\displaystyle x – הוא אסימפטוטה אופקית.
דוגמה

f(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+3}={(x-1)(x-3)}, ו-g(x)=1x2−4x+3\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2-4x+3}}.
בדוגמה שלפניכם נמצא את התכונות של g\displaystyle g מתוך f\displaystyle f:

  • נקודות האפס של f\displaystyle f: x=1\displaystyle {x}={1}, x=3\displaystyle {x}={3}. תחום ההגדרה של g\displaystyle g: x≠1\displaystyle x\neq1, x≠3\displaystyle x\neq3.
  • האסימפטוטות של g\displaystyle g: x=1\displaystyle {x}={1}, x=3\displaystyle {x}={3} (אנכיות), y=0\displaystyle {y}={0} (אופקית).
  • f>0\displaystyle f>0 כש-x<1\displaystyle x<1 או x>3\displaystyle x>3, ולכן גם g>0\displaystyle g>0 שם; כש-1<x<3\displaystyle 1<x<3, g<0\displaystyle g<0.
  • הקודקוד של f\displaystyle f: (2,−1)\displaystyle (2,-1), מינימום. ל-g\displaystyle g יש שם מקסימום, g(2)=1−1=−1\displaystyle {g(2)}={\frac{1}{-1}}={-1} – אותה נקודה.
  • f\displaystyle f יורדת כש-x<2\displaystyle x<2, ולכן g\displaystyle g עולה כש-x<1\displaystyle x<1 וכש-1<x<2\displaystyle 1<x<2; g\displaystyle g יורדת כש-2<x<3\displaystyle 2<x<3 וכש-x>3\displaystyle x>3.
f(x)=x2−4x+3\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+3
g(x)=1x2−4x+3\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}-4x+3}
x=1\displaystyle x=1
x=3\displaystyle x=3
V=(2,−1)\displaystyle V=(2,-1)

הקווים המקווקווים הם האסימפטוטות האנכיות. הגרף של g\displaystyle g (בצבע השני) לא חוצה את ציר x\displaystyle x, ומשני צדי כל אסימפטוטה אנכית הוא בורח למעלה או למטה.

תרגיל 1

f(x)=−x2+7x−12\displaystyle {f(x)}={-x^2+7x-12}, ו-g(x)=1f(x)\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}.

א

פתרו את המשוואה f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0}, וכתבו את תחום ההגדרה של g\displaystyle g.

    ב

    כתבו על הלוח את המשוואות של שלוש האסימפטוטות של g\displaystyle g.

    f(x)=−x2+7x−12\displaystyle f(x)=-x^{2}+7x-12
    g(x)=1−x2+7x−12\displaystyle g(x)=\frac{1}{-x^{2}+7x-12}

    ג

    הקודקוד של f\displaystyle f נמצא באמצע בין נקודות האפס שלה. סמנו את נקודת הקיצון של g\displaystyle g.

    f(x)=−x2+7x−12\displaystyle f(x)=-x^{2}+7x-12
    g(x)=1−x2+7x−12\displaystyle g(x)=\frac{1}{-x^{2}+7x-12}

    ד

    באילו תחומים g\displaystyle g חיובית, ובאילו היא שלילית? באילו תחומים היא עולה, ובאילו יורדת?

    תרגיל 2

    בלוח – הגרף של הפונקציה f(x)\displaystyle f(x) בתחום −0.5≤x≤2.5\displaystyle -0.5\leq x\leq2.5.

    f(x)= ?\displaystyle f(x)=\,?

    א

    כתבו את תחומי העלייה והירידה של f(x)\displaystyle f(x) ושל 1f(x)\displaystyle \frac{1}{f(x)}.

    ב

    סמנו על הגרף של f\displaystyle f את הנקודות שבהן ל-f(x)\displaystyle f(x) ול-1f(x)\displaystyle \frac{1}{f(x)} יש אותו ערך.

    ג

    מהן נקודות הקיצון של 1f(x)\displaystyle \frac{1}{f(x)} בתחום הזה?

    תרגיל 3

    f(x)=x2+1\displaystyle {f(x)}={x^2+1}.
    כתבו על הלוח את g(x)=1f(x)\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}, וסמנו את נקודת הקיצון שלה.

    f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1

    תרגיל 4

    f(x)=x−2\displaystyle {f(x)}={x-2} – פולינום ממעלה ראשונה, ו-g(x)=1x−2\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x-2}}.
    כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של g\displaystyle g.

    f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2
    g(x)=1x−2\displaystyle g(x)=\frac{1}{x-2}

    f\displaystyle f עולה בכל מקום. באילו תחומים g\displaystyle g עולה או יורדת? האם יש לה נקודת קיצון?