דלג לתוכן

תרגול: פונקציות שורש ובעיות קיצון

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 15 מתוך 20תרגול

תרגול: פונקציות שורש ובעיות קיצון

1

גזרו, וכתבו את הנגזרת כשבר אחד.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    2

    מצאו את תחום ההגדרה של y=4−xx+1\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{4-x}{x+1}}}.

      3

      f(x)=(x+1)3−x\displaystyle {f(x)}={(x+1)\sqrt{3-x}}, ותחום ההגדרה שלה x≤3\displaystyle x\leq3.

      א

      גזרו את f\displaystyle f.

      f(x)=(x+1)3−x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{3-x}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

          ג

          חשבו את הערך של f\displaystyle f בנקודת הקיצון הפנימית.

          f(x)=(x+1)3−x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{3-x}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ד

            סמנו על הלוח את נקודת הקיצון הפנימית ואת נקודות החיתוך עם ציר x\displaystyle x.

            f(x)=(x+1)3−x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{3-x}

            ה

            כתבו את תחומי העלייה והירידה, ואת כל נקודות הקיצון וסוגן – גם בקצה התחום.

            4

            f(x)=4xx+3\displaystyle {f(x)}={\sqrt{\frac{4x}{x+3}}}.
            הנקודה (1,1)\displaystyle (1,1) נמצאת על הגרף של f\displaystyle f.

            א

            חשבו את השיפוע של המשיק בנקודה (1,1)\displaystyle (1,1).

            f(x)=4xx+3\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{4x}{x+3}}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              כתבו על הלוח את המשוואה של המשיק.

              f(x)=4xx+3\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{4x}{x+3}}
              (1,1)\displaystyle (1,1)

              5

              x\displaystyle x מספר חיובי.
              מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x2+16x\displaystyle {f(x)}={x^2+\frac{16}{x}}.

              f(x)=x2+16x\displaystyle f(x)=x^{2}+\frac{16}{x}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  f(x)=x2+16x\displaystyle f(x)=x^{2}+\frac{16}{x}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    6

                    העלות של ייצור x\displaystyle x מכשירים בחודש היא C(x)=2x2+50x+800\displaystyle {C(x)}={2x^2+50x+800} שקלים.

                    א

                    כתבו על הלוח את העלות הממוצעת של מכשיר, A(x)\displaystyle A(x).

                    ב

                    כמה מכשירים בחודש צריך לייצר כדי שהעלות הממוצעת תהיה הקטנה ביותר? מהי העלות הזאת?

                    A(x)=2x+50+800x\displaystyle A(x)=2x+50+\frac{800}{x}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        A(x)=2x+50+800x\displaystyle A(x)=2x+50+\frac{800}{x}

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          7

                          לתיבה בלי מכסה יש בסיס ריבועי, שאורך הצלע שלו x\displaystyle x ס"מ, והנפח שלה 4000 סמ"ק.

                          א

                          כתבו על הלוח את שטח הפנים S(x)\displaystyle S(x).

                          ב

                          מצאו את המידות של התיבה ששטח הפנים שלה הקטן ביותר.

                          S(x)=x2+16000x\displaystyle S(x)=x^{2}+\frac{16000}{x}

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              צלע הבסיס

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                הגובה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  8

                                  מלבן חסום בחצי עיגול שהרדיוס שלו 5: צלע אחת שלו על הקוטר, ושני קודקודים על הקשת.
                                  חצי הצלע שעל הקוטר הוא x\displaystyle x, והשטח של המלבן הוא A(x)=2x25−x2\displaystyle {A(x)}={2x\sqrt{25-x^2}}, בתחום 0<x<5\displaystyle 0<x<5.
                                  מצאו את השטח הגדול ביותר של המלבן.

                                  A(x)=2x25−x2\displaystyle A(x)=2x\sqrt{25-x^{2}}

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      A(x)=2x25−x2\displaystyle A(x)=2x\sqrt{25-x^{2}}

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                        9

                                        f(x)=xx2+4\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2+4}}, בתחום הסגור 0≤x≤4\displaystyle 0\leq x\leq4.
                                        מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f\displaystyle f בתחום.

                                        f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                            הערך הגדול ביותר

                                            f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              הערך הקטן ביותר

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה