תרגול: אינטגרלים ושטחים

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20תרגול

תרגול: אינטגרלים ושטחים

חשבו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle {F'(x)}={x^2-4}$ , והגרף של $\displaystyle F$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle A(3,1)$ .

$\displaystyle {F(x)}={\frac{x^3}{3}-4x+C}$ . חשבו את $\displaystyle C$ .

כתבו את $\displaystyle F(x)$ על הלוח.

\displaystyle A=(3,1)

$\displaystyle {f(x)}={x^2+x-2}$ .

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $\displaystyle f$ עם ציר $\displaystyle x$ .

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle f$ וציר $\displaystyle x$ .

בלוח – הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={x^2-2x}$ ו- $\displaystyle {g(x)}={2x}$ , והשטח שהם תוחמים.
סמנו את נקודות המפגש של הגרפים, וחשבו את השטח.

\displaystyle f(x)=x^{2}-2x

\displaystyle g(x)=2x

$\displaystyle a>1$ .
השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x^2}}$ , ציר $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={1}$ ו- $\displaystyle {x}={a}$ הוא 3.

כתבו את השטח בעזרת $\displaystyle a$ .

מצאו את $\displaystyle a$ .

$\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$ .
מעבירים משיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה $\displaystyle (1,2)$ .

כתבו את משוואת המשיק על הלוח.

\displaystyle f(x)=x^{2}+1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle f$ , המשיק וציר $\displaystyle y$ .

השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2+a}$ , הצירים והישר $\displaystyle {x}={3}$ הוא 15 ( $\displaystyle a>0$ ).

מצאו את $\displaystyle a$ .

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$