תרגול: אחת חלקי פונקציה וטרנספורמציות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20תרגול

תרגול: אחת חלקי פונקציה וטרנספורמציות

$\displaystyle {f(x)}={x^2-6x+8}$ , ו- $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={0}$ , וכתבו את תחום ההגדרה של $\displaystyle g$ .

כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של $\displaystyle g$ , וסמנו את נקודת הקיצון שלה.

\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+8

\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}-6x+8}

באילו תחומים $\displaystyle g$ שלילית? באילו תחומים היא עולה?

$\displaystyle {f(x)}={x^2+4x+5}$ , ו- $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}$ .

סמנו את נקודת הקיצון של $\displaystyle g$ .

\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}+4x+5}

לאילו ערכים של $\displaystyle x$ מתקיים $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{2}}$ ?

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle g$ ? כמה אסימפטוטות יש לה, ומהן? באילו תחומים היא עולה, ובאילו יורדת?

בלוח – הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x^2}}$ .
מזיזים אותו יחידה אחת שמאלה ו-3 יחידות למטה.
כתבו על הלוח את הפונקציה שמתקבלת, ואת המשוואות של האסימפטוטות שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}

$\displaystyle {g(x)}={\frac{2}{x-3}+1}$ .

באילו פעולות מתקבלת $\displaystyle g$ מהפונקציה $\displaystyle \frac{1}{x}$ ?

כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של $\displaystyle g$ , וסמנו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר $\displaystyle x$ .

\displaystyle g(x)=\frac{2}{x-3}+1

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2-4}}$ , ולידו הגרף של $\displaystyle h(x)$ , שהתקבל מ- $\displaystyle g$ בטרנספורמציה אחת.
כתבו על הלוח את $\displaystyle h(x)$ .

\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}-4}

\displaystyle h(x)=\,?

$\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2-1}}$ .
פתרו את המשוואה $\displaystyle {\left|g(x)\right|}={1}$ .

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$