תרגול: פונקציות רציונליות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20תרגול

תרגול: פונקציות רציונליות

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x^{2}-3}{x-2}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ , וכתבו על הלוח את משוואת האסימפטוטה האנכית.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

כתבו את טבלת הסימן של $\displaystyle f'$ , ואת תחומי העלייה והירידה של $\displaystyle f$ .

סמנו את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , וכתבו את סוג כל אחת.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}

\displaystyle x=2

$\displaystyle {f(x)}={\frac{3x}{x^{2}+9}}$ .

האם $\displaystyle f$ זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה? כתבו את $\displaystyle f(-x)$ ופשטו.

$\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}+9}$

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}+9}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , וכתבו על הלוח את משוואת האסימפטוטה האופקית.

\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}+9}

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x+3}{x-1}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-1}$

כתבו על הלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-1}

\displaystyle x=1

לגרף יש משיק נוסף שמקביל למשיק הזה.
פתרו משוואה שנותנת את ה- $\displaystyle x$ של נקודת ההשקה שלו, וכתבו גם את המשיק הזה על הלוח של סעיף ב'.

$\displaystyle {f(x)}={\frac{ax+2}{x-3}}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.
הגרף של $\displaystyle f$ עובר בנקודה $\displaystyle (4,10)$ .

מצאו את $\displaystyle a$ .

הציבו $\displaystyle {a}={2}$ , ומצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x-3}$

הוכיחו ש- $\displaystyle f$ יורדת בכל תחום ההגדרה שלה. האם יש לה נקודות קיצון?

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={f'(x)}$ , הנגזרת של פונקציה $\displaystyle f$ המוגדרת לכל $\displaystyle x$ .

\displaystyle g(x)=-\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}

באילו תחומים $\displaystyle f$ עולה, ובאילו היא יורדת?

מצאו את ה- $\displaystyle x$ של נקודת הקיצון של $\displaystyle f$ , וקבעו את סוגה.

\displaystyle x

בלוח – הגרף של הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{4x+1}{ax^{2}-2x}}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.
$\displaystyle {x}={2}$ היא אסימפטוטה אנכית של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=\,?

\displaystyle x=2

מצאו את $\displaystyle a$ .

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם. מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ ואת כל האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{4x+1}{x^{2}-2x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , וכתבו את תחומי העלייה והירידה שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{4x+1}{x^{2}-2x}

\displaystyle x=0

\displaystyle x=2

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$