דלג לתוכן

נגזרת של מנה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

נגזרת של מנה

תזכורת: כללי הגזירה

בכיתה י’ למדתם לגזור פולינומים ושורשים. u\displaystyle u ו-v\displaystyle v הן פונקציות של x\displaystyle x, ו-c\displaystyle c מספר:

(xn)′=nxn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}
(c⋅u)′\displaystyle \left(c\cdot u\right)' =\displaystyle = c⋅u′\displaystyle c\cdot u'
(u+v)′\displaystyle \left(u+v\right)' =\displaystyle = u′+v′\displaystyle u'+v'
(u⋅v)′\displaystyle \left(u\cdot v\right)' =\displaystyle = u′⋅v+u⋅v′\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'
(u)′\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)' =\displaystyle = u′2u\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}
  • הנגזרת של מספר היא 0.
  • פונקציה מורכבת: גוזרים את הפונקציה החיצונית, וכופלים בנגזרת של הפנימית – ((2x+1)3)′=3(2x+1)2⋅2\displaystyle {\left((2x+1)^{3}\right)'}={3(2x+1)^{2}\cdot2}.
נגזרת של מנה

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים, uv\displaystyle \frac{u}{v}. את הנגזרת שלה נותן כלל המנה:

(uv)′\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' =\displaystyle = u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}
  • במונה – קודם u′⋅v\displaystyle u'\cdot v, ואחר כך מחסירים u⋅v′\displaystyle u\cdot v': הסדר משנה את הסימן.
  • במכנה – v2\displaystyle v^{2}. משאירים אותו בריבוע, בלי לפתוח סוגריים: כך רואים מיד שהוא אף פעם לא שלילי.
  • הנגזרת מוגדרת באותו תחום הגדרה כמו הפונקציה: איפה ש-v=0\displaystyle {v}={0} אין פונקציה ואין נגזרת.
דוגמה

f(x)=x+1x−2\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x-2}}.
בדוגמה שלפניכם נגזור לפי כלל המנה, עם u=x+1\displaystyle {u}={x+1} ו-v=x−2\displaystyle {v}={x-2}:

  • u′=1\displaystyle {u'}={1}, v′=1\displaystyle {v'}={1};
  • f′(x)=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2=x−2−x−1(x−2)2=−3(x−2)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot1}{(x-2)^{2}}}={\frac{x-2-x-1}{(x-2)^{2}}}={\frac{-3}{(x-2)^{2}}}.

המונה −3\displaystyle -3 שלילי והמכנה חיובי, ולכן f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 בכל תחום ההגדרה: f\displaystyle f יורדת משני צדי x=2\displaystyle {x}={2}.

מספר חלקי פונקציה

כשהמונה הוא מספר c\displaystyle c, הנגזרת שלו 0, ומכלל המנה נשאר:

(cv)′\displaystyle \left(\frac{c}{v}\right)' =\displaystyle = −c⋅v′v2\displaystyle -\frac{c\cdot v'}{v^{2}}
(cx)′\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)' =\displaystyle = −cx2\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}

למשל, (4x)′=−4x2\displaystyle {\left(\frac{4}{x}\right)'}={-\frac{4}{x^{2}}}, ו-(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\displaystyle {\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)'}={-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}}.

פולינום ועוד שבר

בסכום גוזרים כל מחובר לחוד: את הפולינום כרגיל, ואת השבר לפי כלל המנה.

(x+4x)′=1−4x2\left(x+\frac{4}{x}\right)'=1-\frac{4}{x^{2}}(x2−3x−1)′=2x+3(x−1)2\left(x^{2}-\frac{3}{x-1}\right)'=2x+\frac{3}{(x-1)^{2}}
תרגיל 1

גזרו.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          f(x)=x2x+2\displaystyle {f(x)}={\frac{x^{2}}{x+2}}.

          א

          מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

          f(x)=x2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            חשבו את f′(1)\displaystyle f'(1).

            f(x)=x2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              גזרו, ופשטו את המונה עד הסוף.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                f(x)=x−3x+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x-3}{x+1}}.
                מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                f(x)=x−3x+1\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{x+1}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  הסבירו בעזרת f′(x)\displaystyle f'(x): למה f\displaystyle f עולה בכל תחום ההגדרה שלה?