הפונקציה הרציונלית: תחום הגדרה ואסימפטוטות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20לימוד

הפונקציה הרציונלית: תחום הגדרה ואסימפטוטות

פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. בקורס הזה המונה והמכנה הם פולינומים ממעלה שנייה לכל היותר:

$\displaystyle {f(x)}={\frac{2x+1}{x-3}}$ ;
$\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2-4}}$ ;
$\displaystyle {f(x)}={\frac{3x^2}{x^2-4}}$ .

גם סכום או הפרש של פונקציה כזאת עם פולינום, כמו $\displaystyle {f(x)}={x+\frac{4}{x}}$ , נחקור באותן דרכים.

תחום ההגדרה

אין חילוק ב-0, ולכן תחום ההגדרה הוא כל $\displaystyle x$ שבו המכנה שונה מ-0.
מוצאים אותו כך:

פותרים את המשוואה “המכנה $\displaystyle {}={0}$ ”;
הפתרונות יוצאים מהתחום.

למשל, ב- $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2-4}}$ : $\displaystyle {x^2-4}={0}$ כש- $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ , ותחום ההגדרה הוא $\displaystyle x\neq2$ , $\displaystyle x\neq-2$ .
למכנה $\displaystyle x^2+1$ אין נקודות אפס, ולכן $\displaystyle \frac{x}{x^2+1}$ מוגדרת לכל $\displaystyle x$ .

אסימפטוטה אנכית

ליד נקודת אפס $\displaystyle {x}={a}$ של המכנה, המכנה קרוב ל-0 והמונה לא. מספר שאינו קרוב ל-0, חלקי מספר קרוב ל-0, רחוק מאוד מ-0 – ולכן הגרף בורח למעלה או למטה, והישר $\displaystyle {x}={a}$ הוא אסימפטוטה אנכית.
בקורס הזה המונה אף פעם לא מתאפס באותה נקודה עם המכנה, ולכן כל נקודת אפס של המכנה נותנת אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית

כש- $\displaystyle x$ גדול מאוד (או קטן מאוד), מה שקובע את הערך הוא החזקות הגבוהות במונה ובמכנה. למשל, ב- $\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}$ , כש- $\displaystyle {x}={1000}$ : $\displaystyle \frac{2001}{997}\approx2.007$ – כמעט $\displaystyle {\frac{2x}{x}}={2}$ .
לכן האסימפטוטה האופקית תלויה במעלות של המונה והמכנה:

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: המכנה גדל מהר יותר, והשבר מתקרב ל-0 – האסימפטוטה היא $\displaystyle {y}={0}$ .
אותה מעלה: השבר מתקרב למנה של המקדמים של החזקה הגבוהה, $\displaystyle {y}={\frac{a}{b}}$ . ב- $\displaystyle \frac{3x^2}{x^2-4}$ : $\displaystyle {y}={\frac{3}{1}}={3}$ .
מעלת המונה גדולה יותר, או סכום עם פולינום כמו $\displaystyle x+\frac{4}{x}$ : הערכים ממשיכים לגדול, ואין אסימפטוטה אופקית.

דוגמה

$\displaystyle {f(x)}={\frac{2x+1}{x-3}}$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות:

המכנה מתאפס כש- $\displaystyle {x}={3}$ , ולכן תחום ההגדרה: $\displaystyle x\neq3$ .
האסימפטוטה האנכית: $\displaystyle {x}={3}$ .
המונה והמכנה ממעלה ראשונה, והמקדמים של $\displaystyle x$ הם 2 ו-1, ולכן האסימפטוטה האופקית: $\displaystyle {y}={\frac{2}{1}}={2}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x-3}

\displaystyle x=3

\displaystyle y=2

הגרף מתקרב לשני הקווים המקווקווים ולא נוגע בהם: משמאל ל- $\displaystyle {x}={3}$ הוא יורד למטה, ומימין לו עולה למעלה.

תרגיל 1

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x^2-5x+6}}$ .

פתרו את המשוואה “המכנה $\displaystyle {}={0}$ ”, וכתבו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ .

כתבו על הלוח את המשוואות של כל האסימפטוטות של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-5x+6}

תרגיל 2

$\displaystyle {f(x)}={\frac{3x^2}{x^2-4}}$ .
כתבו על הלוח את המשוואות של שלוש האסימפטוטות של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{2}-4}

תרגיל 3

$\displaystyle {f(x)}={x+\frac{4}{x}}$ .
כתבו על הלוח את המשוואה של האסימפטוטה האנכית של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ ? חשבו את $\displaystyle f(100)$ , והסבירו למה אין ל- $\displaystyle f$ אסימפטוטה אופקית.

\displaystyle f(100)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

כתבו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של כל פונקציה:

$\displaystyle {f(x)}={\frac{5}{x+4}}$
$\displaystyle {g(x)}={\frac{x^2+1}{x^2}}$
$\displaystyle {h(x)}={\frac{4x}{2x-1}}$
$\displaystyle {k(x)}={\frac{x-3}{x^2+9}}$

תרגיל 5

$\displaystyle {f(x)}={\frac{2x-6}{x^2+1}}$ .
ל- $\displaystyle f$ אין אסימפטוטה אנכית: למכנה אין נקודות אפס.
כתבו על הלוח את המשוואה של האסימפטוטה האופקית שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{2x-6}{x^{2}+1}

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$