דלג לתוכן

חזרה: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 20 מתוך 20תרגול

חזרה: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

1

g(x)=1x2\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2}}, f(x)=1(x−2)2\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{(x-2)^2}}.

א

כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של g\displaystyle g, המאונכות לצירים.
באילו תחומים g\displaystyle g עולה, ובאילו היא יורדת?

g(x)=1x2\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}}

ב

הגרף של f\displaystyle f הוא הגרף של g\displaystyle g מוזז. כתבו על הלוח את f\displaystyle f ואת המשוואות של האסימפטוטות שלה.

ג

מעבירים משיק לגרף של f\displaystyle f בנקודת החיתוך שלו עם ציר y\displaystyle y.
חשבו את השיפוע של המשיק, וכתבו את משוואת המשיק על הלוח.

f(x)=1(x−2)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    f(x)=1(x−2)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}
    x=2\displaystyle x=2

    ד

    חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f\displaystyle f, המשיק והישר x=−1\displaystyle {x}={-1}.

    f(x)=1(x−2)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}
    t(x)=x4+14\displaystyle t(x)=\frac{x}{4}+\frac{1}{4}
    x=−1\displaystyle x=-1

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ה

      h(x)=1(x−2)2+a\displaystyle {h(x)}={\frac{1}{(x-2)^2}+a}.

      • אילו ערכים מקבלת הפונקציה f\displaystyle f?
      • עבור אילו ערכים של a\displaystyle a כל הערכים של h\displaystyle h גדולים מ-1?
      • מעבירים משיק לגרף של h\displaystyle h בנקודת החיתוך שלו עם ציר y\displaystyle y. האם השטח המוגבל על ידי הגרף של h\displaystyle h, המשיק והישר x=−1\displaystyle {x}={-1} גדול, קטן או שווה לשטח שחישבתם בסעיף 4? נמקו.
      2

      f(x)=x2x+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2}{x+1}}.

      א

      מצאו את תחום ההגדרה של f\displaystyle f ואת האסימפטוטה האנכית שלה.

      ב

      מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

      f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג

        פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

          ד

          סמנו על הלוח את נקודות הקיצון של f\displaystyle f, וכתבו את סוגן ואת תחומי העלייה והירידה.

          f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}
          x=−1\displaystyle x=-1

          3

          פתרו את אי־השוויון.

            4

            f(x)=ax+1x−2\displaystyle {f(x)}={\frac{ax+1}{x-2}}.
            הישר y=3\displaystyle {y}={3} הוא אסימפטוטה אופקית של f\displaystyle f.

            א

            מצאו את a\displaystyle a.

            ב

            הציבו את a\displaystyle a שמצאתם, ומצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).
            האם f\displaystyle f עולה או יורדת? נמקו.

            f(x)=3x+1x−2\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{x-2}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              5

              מלבן חסום בחצי עיגול: שני קודקודים שלו על ציר x\displaystyle x, ושני האחרים על הגרף של y=9−x2\displaystyle {y}={\sqrt{9-x^2}}.
              הקודקוד הימני העליון הוא (x,9−x2)\displaystyle \left(x,\sqrt{9-x^2}\right), 0<x<3\displaystyle 0<x<3, והשטח של המלבן S(x)=2x9−x2\displaystyle {S(x)}={2x\sqrt{9-x^2}}.

              א

              מצאו את S′(x)\displaystyle S'(x).

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                ג

                מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  6

                  f′(x)=2(x+1)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{(x+1)^2}}, והגרף של f\displaystyle f עובר דרך הנקודה B(0,1)\displaystyle B(0,1).

                  א

                  מצאו את f(x)\displaystyle f(x), וכתבו אותה על הלוח. את C\displaystyle C חשבו בכרטיס שמתחת ללוח.

                  B=(0,1)\displaystyle B=(0,1)
                  x=−1\displaystyle x=-1

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f\displaystyle f, הישר y=3\displaystyle {y}={3}, ציר y\displaystyle y והישר x=1\displaystyle {x}={1}.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה