נגזרת של פונקציית שורש

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 11 מתוך 20לימוד

נגזרת של פונקציית שורש

תזכורת מכיתה י'

הנגזרת של שורש של פונקציה $\displaystyle u(x)$ היא הנגזרת של $\displaystyle u$ חלקי פעמיים השורש:

\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}

$\displaystyle {\left(\sqrt{x^2+5}\right)'}={\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}}={\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}}$ .
מכפלה של פונקציה בשורש נגזרת לפי כלל המכפלה: $\displaystyle {(u\cdot v)'}={u'\cdot v+u\cdot v'}$ .

בשיעור הזה $\displaystyle f$ ו- $\displaystyle g$ פולינומים ממעלה שנייה לכל היותר, והפונקציות הן $\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ ו- $\displaystyle {y}={g(x)\cdot\sqrt{f(x)}}$ .

תחום ההגדרה

שורש ריבועי מוגדר רק למספר אי־שלילי, ושבר – רק כשהמכנה אינו 0:

$\displaystyle {y}={g(x)\cdot\sqrt{f(x)}}$ מוגדרת כש- $\displaystyle f(x)\geq0$ .
$\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ מוגדרת כש- $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\geq0$ – אי־שוויון של שבר, שפותרים כמו בשיעור על חיוביות ושליליות.

למשל, $\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}}$ : השבר חיובי או 0 כש- $\displaystyle x<-2$ או $\displaystyle x\geq1$ . ב- $\displaystyle {x}={1}$ המונה 0, והשורש $\displaystyle 0$ ; ב- $\displaystyle {x}={-2}$ המכנה 0, ולכן $\displaystyle -2$ לא בתחום.

שורש של שבר

$\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}}$ .
בדוגמה שלפניכם נגזור לפי כלל השורש, כש- $\displaystyle {u}={\frac{x-1}{x+2}}$ , ואת $\displaystyle u'$ נמצא לפי כלל המנה:

$\displaystyle {u'}={\frac{1\cdot(x+2)-(x-1)\cdot1}{(x+2)^2}}={\frac{3}{(x+2)^2}}$ .
$\displaystyle {y'}={\frac{u'}{2\sqrt{u}}}={\frac{3}{2(x+2)^2\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}}}$ .

הנגזרת מוגדרת בתחום ההגדרה חוץ מ- $\displaystyle {x}={1}$ : שם השורש במכנה שווה ל-0.

פולינום כפול שורש

$\displaystyle {y}={x\sqrt{4-x}}$ , ותחום ההגדרה שלה $\displaystyle x\leq4$ .
בדוגמה שלפניכם נגזור לפי כלל המכפלה, ונכתוב את הנגזרת כשבר אחד:

y'=1\cdot\sqrt{4-x}+x\cdot\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}=\frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}=\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}

כדי לחבר, מכפילים את $\displaystyle \sqrt{4-x}$ במונה ובמכנה ב- $\displaystyle 2\sqrt{4-x}$ : $\displaystyle {\sqrt{4-x}\cdot\sqrt{4-x}}={4-x}$ .

משיק

בדוגמה שלפניכם נמצא את המשוואה של המשיק לגרף $\displaystyle {y}={x\sqrt{4-x}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$ :

הנקודה: $\displaystyle {y(3)}={3\sqrt{1}}={3}$ , כלומר $\displaystyle (3,3)$ .
השיפוע: $\displaystyle {m}={y'(3)}={\frac{8-9}{2\sqrt{1}}}={-\frac{1}{2}}$ .
המשיק: $\displaystyle {y-3}={-\frac{1}{2}(x-3)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}$ .

\displaystyle f(x)=x\sqrt{4-x}

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}

\displaystyle (3,3)

תרגיל 1

$\displaystyle {y}={\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}}$ .
מצאו את תחום ההגדרה: פתרו את אי־השוויון.

תרגיל 2

גזרו, וכתבו את הנגזרת כשבר אחד.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

חשבו את $\displaystyle f'(3)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+3}{x+1}}$

תרגיל 4

$\displaystyle {f(x)}={(x-2)\sqrt{x}}$ .
הנקודה $\displaystyle (4,4)$ נמצאת על הגרף של $\displaystyle f$ .

חשבו את השיפוע של המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (4,4)$ .

$\displaystyle f(x)=(x-2)\sqrt{x}$

כתבו על הלוח את המשוואה של המשיק.

\displaystyle f(x)=(x-2)\sqrt{x}

\displaystyle (4,4)

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$