דלג לתוכן

משיק לגרף של פונקציה רציונלית

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

משיק לגרף של פונקציה רציונלית

משוואת המשיק

המשיק לגרף בנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) הוא הישר שעובר בנקודה, והשיפוע שלו הוא הנגזרת בה – כמו בפולינומים בכיתה י':

m\displaystyle m =\displaystyle = f′(x1)\displaystyle f'(x_1)
y−y1\displaystyle y-y_1 =\displaystyle = m(x−x1)\displaystyle m(x-x_1)
  • y1=f(x1)\displaystyle {y_1}={f(x_1)} – מציבים ב-f\displaystyle f, לא ב-f′\displaystyle f';
  • m=f′(x1)\displaystyle {m}={f'(x_1)} – מציבים ב-f′\displaystyle f';
  • מציבים במשוואת הישר, ומעבירים לצורה y=mx+b\displaystyle {y}={mx+b}.
דוגמה

f(x)=x+1x−2\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x-2}}.
מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=3\displaystyle {x}={3}.

בפתרון שלפניכם נחשב את y1\displaystyle y_1 ואת השיפוע, ונציב במשוואת הישר:

  • y1=f(3)=41=4\displaystyle {y_1}={f(3)}={\frac{4}{1}}={4} – הנקודה (3,4)\displaystyle (3,4);
  • f′(x)=−3(x−2)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{-3}{(x-2)^{2}}} (מהשיעור הקודם), ולכן m=f′(3)=−31=−3\displaystyle {m}={f'(3)}={\frac{-3}{1}}={-3};
  • y−4=−3(x−3)\displaystyle {y-4}={-3(x-3)}, כלומר y=−3x+13\displaystyle {y}={-3x+13}.
f(x)=x+1x−2\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2}
y=−3x+13\displaystyle y=-3x+13
x=2\displaystyle x=2
A=(3,4)\displaystyle A=(3,4)
משיק בשיפוע נתון

כשנתון השיפוע של המשיק ולא הנקודה, מחפשים את ה-x\displaystyle x שבו הנגזרת שווה לשיפוע – פותרים את המשוואה f′(x)=m\displaystyle {f'(x)}={m}:

  • משיק מקביל לציר x\displaystyle x: השיפוע 0, f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0};
  • משיק מקביל לישר y=mx+b\displaystyle {y}={mx+b}: לישרים מקבילים אותו שיפוע, f′(x)=m\displaystyle {f'(x)}={m}.

דוגמה: f(x)=x+4x\displaystyle {f(x)}={x+\frac{4}{x}}, ו-f′(x)=1−4x2\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{4}{x^{2}}}.
1−4x2=0\displaystyle {1-\frac{4}{x^{2}}}={0} נותן x2=4\displaystyle {x^{2}}={4}, כלומר x=2\displaystyle {x}={2} או x=−2\displaystyle {x}={-2}.
f(2)=4\displaystyle {f(2)}={4} ו-f(−2)=−4\displaystyle {f(-2)}={-4}, ולכן המשיקים המקבילים לציר x\displaystyle x הם y=4\displaystyle {y}={4} ו-y=−4\displaystyle {y}={-4} (המקווקווים).

f(x)=x+4x\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}
y=4\displaystyle y=4
y=−4\displaystyle y=-4
x=0\displaystyle x=0
תרגיל 1

f(x)=2xx+1\displaystyle {f(x)}={\frac{2x}{x+1}}.
הנקודה (1,1)\displaystyle (1,1) נמצאת על הגרף.

א

חשבו את השיפוע של המשיק בנקודה הזאת.

f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+1}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    כתבו על הלוח את משוואת המשיק.

    f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+1}
    (1,1)\displaystyle (1,1)

    תרגיל 2

    f(x)=1−1(x−5)2\displaystyle {f(x)}={1-\frac{1}{(x-5)^{2}}}.

    א

    מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של f\displaystyle f המקבילות לצירים.

    ב

    מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

    f(x)=1−1(x−5)2\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x-5)^{2}}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      כתבו על הלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=4\displaystyle {x}={4}.

      f(x)=1−1(x−5)2\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x-5)^{2}}
      x=5\displaystyle x=5
      y=1\displaystyle y=1
      (4,0)\displaystyle (4,0)

      ד

      בלוח – המשיק והאסימפטוטות. סמנו את נקודת החיתוך של המשיק עם האסימפטוטה האופקית.

      f(x)=1−1(x−5)2\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x-5)^{2}}
      x=5\displaystyle x=5
      y=1\displaystyle y=1
      y=−2x+8\displaystyle y=-2x+8

      מהן נקודות החיתוך של המשיק עם שתי האסימפטוטות?

      תרגיל 3

      f(x)=xx−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x-1}}.

      א

      מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

      f(x)=xx−1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        מצאו את נקודות הגרף שבהן המשיק מקביל לישר y=−x+5\displaystyle {y}={-x+5}: פתרו את המשוואה f′(x)=−1\displaystyle {f'(x)}={-1}.

        ג

        כתבו על הלוח את משוואות שני המשיקים.

        f(x)=xx−1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}
        x=1\displaystyle x=1

        תרגיל 4

        f(x)=x2x−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^{2}}{x-1}}, ו-f′(x)=x2−2x(x−1)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}}.

        א

        איפה המשיק לגרף מקביל לציר x\displaystyle x? פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

          ב

          כתבו את משוואות המשיקים המקבילים לציר x\displaystyle x.