טרנספורמציות של גרף

בכיתה י’ הזזתם ומתחתם גרפים של פולינומים, למשל של $\displaystyle {y}={x^2}$:

• $\displaystyle {y}={(x-3)^2}$ – הגרף זז 3 יחידות ימינה;
• $\displaystyle {y}={x^2+2}$ – הגרף זז 2 יחידות למעלה;
• $\displaystyle {y}={-x^2}$ – הגרף משתקף ביחס לציר $\displaystyle x$;
• $\displaystyle {y}={3x^2}$ – הגרף נמתח פי 3 לאורך ציר $\displaystyle y$.

אותן פעולות עובדות על כל פונקציה, וגם על $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}$.

$\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{f(x)}}$, ומכל פעולה מתקבלת פונקציה חדשה:

• הזזה אופקית: $\displaystyle {y}={\frac{1}{f(x-p)}}$ – הגרף זז $\displaystyle p$ יחידות ימינה ($\displaystyle p>0$) או שמאלה ($\displaystyle p<0$).
• הזזה אנכית: $\displaystyle {y}={\frac{1}{f(x)}+k}$ – הגרף זז $\displaystyle k$ יחידות למעלה ($\displaystyle k>0$) או למטה ($\displaystyle k<0$).
• שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$: $\displaystyle {y}={-\frac{1}{f(x)}}$ – כל ערך מחליף סימן.
• שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$: $\displaystyle {y}={\frac{1}{f(-x)}}$ – מה שהיה ב-$\displaystyle {x}={3}$ נמצא עכשיו ב-$\displaystyle {x}={-3}$.
• מתיחה או כיווץ: $\displaystyle {y}={\frac{a}{f(x)}}$ – כל ערך מוכפל ב-$\displaystyle a$: מתיחה כש-$\displaystyle a>1$, כיווץ כש-$\displaystyle 0<a<1$.

את הפעולות אפשר לשלב:

אסימפטוטה היא חלק מהתמונה של הגרף, ולכן היא עוברת את אותה פעולה:

• הזזה ימינה ב-$\displaystyle p$: אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={c}$ עוברת ל-$\displaystyle {x}={c+p}$.
• הזזה למעלה ב-$\displaystyle k$: האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$ עוברת ל-$\displaystyle {y}={k}$.
• שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$: $\displaystyle {x}={c}$ עוברת ל-$\displaystyle {x}={-c}$.
• שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$, מתיחה וכיווץ: האסימפטוטות לא זזות – $\displaystyle \frac{a}{0}$ עדיין לא מוגדר, ו-$\displaystyle a$ פעמים מספר קרוב ל-0 עדיין קרוב ל-0.

ל-$\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ יש שתי אסימפטוטות: $\displaystyle {x}={0}$ ו-$\displaystyle {y}={0}$.
בדוגמה שלפניכם נזיז את הגרף 2 יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה:

• $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x-2}+1}$;
• האסימפטוטה האנכית עוברת מ-$\displaystyle {x}={0}$ ל-$\displaystyle {x}={2}$;
• האסימפטוטה האופקית עוברת מ-$\displaystyle {y}={0}$ ל-$\displaystyle {y}={1}$;
• תחום ההגדרה של $\displaystyle g$: $\displaystyle x\neq2$.

כל נקודה של הגרף של $\displaystyle f$ זזה באותו אופן: $\displaystyle (1,1)$ עוברת ל-$\displaystyle (3,2)$, ו-$\displaystyle (-1,-1)$ עוברת ל-$\displaystyle (1,0)$ – נקודת החיתוך של $\displaystyle g$ עם ציר $\displaystyle x$.

$\displaystyle {y}={\left|\frac{1}{f(x)}\right|}$: איפה שהערך חיובי הוא נשאר, ואיפה שהוא שלילי הוא מחליף סימן.
החלק של הגרף שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו, והחלק שמעליו לא משתנה. האסימפטוטות לא זזות.
בגרף: $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x-1}}$ (מקווקו) ו-$\displaystyle {h(x)}={\left|\frac{1}{x-1}\right|}$.

בלוח – הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$.
מזיזים אותו 3 יחידות ימינה ו-2 יחידות למטה.
כתבו על הלוח את הפונקציה שמתקבלת, ואת המשוואות של שתי האסימפטוטות שלה.

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2+1}}$, ולידו הגרף של $\displaystyle h(x)$.
$\displaystyle h$ התקבלה מ-$\displaystyle g$ בשיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$ ובמתיחה פי 2.
כתבו על הלוח את $\displaystyle h(x)$.

$\displaystyle {g(x)}={\frac{3}{x+1}-2}$.

מאיזו פונקציה $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ התקבלה $\displaystyle g$, ובאילו פעולות?

כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטות של $\displaystyle g$.

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x-2}}$.
כתבו על הלוח את הפונקציה שמתקבלת משיקוף של $\displaystyle g$ ביחס לציר $\displaystyle y$, ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית שלה.

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2-1}}$.
כתבו על הלוח את $\displaystyle {y}={\left|g(x)\right|}$.

באילו תחומים הגרף של $\displaystyle \left|g(x)\right|$ שונה מהגרף של $\displaystyle g(x)$? מהי נקודת הקיצון שלו בתחום $\displaystyle -1<x<1$?