פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

שתי משפחות חדשות של פונקציות: פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות.נושאים

הן מתארות תהליכים רבים בטבע ובכלכלה – חיסכון בבנק, התפשטות של נגיף, חומר רדיואקטיבי שמתפרק. הקורס נשען על החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של כיתות י’ ו-י"א (4 יח"ל): נגזרת של פולינום, של שורש ושל פונקציה רציונלית, משיק, חקירת פונקציה, אינטגרל ושטח. הנושאים, לפי הסדר:

חזקות: כל חוקי החזקות, כולל חזקה עם מעריך רציונלי;
הפונקציה המעריכית $\displaystyle a^x$ : תכונותיה, טרנספורמציות, משוואות ואי־שוויונות מעריכיים;
הלוגריתם: הגדרתו, חוקי הלוגריתמים, הפונקציה הלוגריתמית, משוואות ואי־שוויונות לוגריתמיים;
גדילה ודעיכה: $\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot q^t}$ , יחידת זמן אחידה וזמן מחצית חיים;
המספר $\displaystyle e$ : נגזרות של $\displaystyle e^x$ ושל $\displaystyle \ln x$ , חקירת פונקציות, הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת;
אינטגרלים שמובילים ל- $\displaystyle e^x$ ול- $\displaystyle \ln x$ , ושטחים.

יש שני סוגים של שיעורים:

שיעורי לימוד – הסבר, דוגמאות פתורות וכמה שאלות לנסות;
שיעורי תרגול – שאלות בלבד.

איך עובדים בדף: שימוש בדף.

עודכן לאחרונה ב 18.10.2026

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$