שטח בין גרף לציר ה-x ובין שני גרפים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 18 מתוך 20לימוד

שטח בין גרף לציר ה-x ובין שני גרפים

שטח מעל ציר ה-

\displaystyle x

כשהגרף של $\displaystyle f$ מעל ציר ה- $\displaystyle x$ בתחום $\displaystyle a\le x\le b$ , השטח בין הגרף לציר הוא האינטגרל המסוים $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ . בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^x}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={1}$ :

\displaystyle f(x)=e^{x}

S=\int_0^1e^x\,dx=\left[e^x\right]_0^1=e-1\approx1.72

שטח מתחת לציר ה-

\displaystyle x

כשהגרף מתחת לציר ה- $\displaystyle x$ , האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך הנגדי שלו – או האינטגרל של $\displaystyle -f(x)$ . הגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^x-3}$ חותך את ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle {x}={\ln3}$ , ומשמאל לנקודה הזאת הוא מתחת לציר. בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $\displaystyle x$ וציר ה- $\displaystyle y$ :

\displaystyle f(x)=e^{x}-3

S=\int_0^{\ln3}\left(3-e^x\right)dx=\left[3x-e^x\right]_0^{\ln3}=(3\ln3-3)-(0-1)=3\ln3-2\approx1.30

פונקציה שמחליפה סימן

כשהפונקציה מחליפה סימן בתחום, מחלקים את התחום בנקודת האפס שלה ומחשבים כל חלק לחוד. הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2}{x}-1}$ מתאפסת ב- $\displaystyle {x}={2}$ : בין 1 ל-2 היא חיובית, ובין 2 ל-4 שלילית.

\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}-1

החלק מעל הציר: $\displaystyle {\int_1^2\left(\frac{2}{x}-1\right)dx}={\left[2\ln x-x\right]_1^2}={2\ln2-1}$ .
החלק מתחת לציר: $\displaystyle {\int_2^4\left(1-\frac{2}{x}\right)dx}={\left[x-2\ln x\right]_2^4}={2-2\ln2}$ .
השטח כולו: $\displaystyle {(2\ln2-1)+(2-2\ln2)}={1}$ .
האינטגרל מ-1 עד 4 בלי חלוקה נותן $\displaystyle 4\ln2-3\approx-0.23$ : החלקים מקזזים זה את זה, וזה אינו השטח.

שטח בין שני גרפים

השטח בין שני גרפים בתחום שבו $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ :

\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={e^{3x}-12e^{2x}+36e^x}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={e^{3x}}$ וציר ה- $\displaystyle y$ :

\displaystyle f(x)=e^{3x}-12e^{2x}+36e^{x}

\displaystyle g(x)=e^{3x}

נקודת החיתוך: $\displaystyle {f(x)}={g(x)}$ נותן $\displaystyle {36e^x-12e^{2x}}={0}$ , כלומר $\displaystyle {12e^x(3-e^x)}={0}$ . $\displaystyle e^x>0$ , ולכן $\displaystyle {e^x}={3}$ ו- $\displaystyle {x}={\ln3}$ .
בתחום $\displaystyle 0\le x\le\ln3$ : $\displaystyle {f(x)-g(x)}={36e^x-12e^{2x}\ge0}$ .
השטח:

S=\int_0^{\ln3}\left(36e^x-12e^{2x}\right)dx=\left[36e^x-6e^{2x}\right]_0^{\ln3}=(108-54)-(36-6)=24

פרמטר לפי שטח נתון

כשהשטח נתון, הגבול של האינטגרל יכול להיות הנעלם. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle a>1$ כך שהשטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={1}$ ו- $\displaystyle {x}={a}$ יהיה 2:

$\displaystyle {\int_1^a\frac{1}{x}\,dx}={\left[\ln x\right]_1^a}={\ln a-\ln1}={\ln a}$ .
$\displaystyle {\ln a}={2}$ , ולכן $\displaystyle {a}={e^2\approx7.39}$ .

תרגיל 1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^{2x}}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={1}$ .

\displaystyle f(x)=e^{2x}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^x-e}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

\displaystyle f(x)=e^{x}-e

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה, ציר ה- $\displaystyle x$ וציר ה- $\displaystyle y$ .

תרגיל 3

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\frac{3}{x}}$ ו- $\displaystyle {g(x)}={4-x}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .

מצאו את שיעורי ה- $\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.

\displaystyle f(x)=\frac{3}{x}

\displaystyle g(x)=4-x

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={1-\frac{1}{x}}$ .

מצאו את נקודת האפס של הפונקציה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה, ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ .

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x}

תרגיל 5

$\displaystyle k$ הוא פרמטר חיובי.
השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^x}$ , הצירים והישר $\displaystyle {x}={k}$ הוא 3.
מצאו את $\displaystyle k$ : כתבו משוואה ב- $\displaystyle k$ ופתרו אותה.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$