המספר e ונגזרות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

המספר e ונגזרות

תזכורת: כללי הגזירה

כללי הגזירה מכיתות י’ ו-י"א נשארים בתוקף גם לפונקציות החדשות:

$\displaystyle {(x^n)'}={nx^{n-1}}$ , $\displaystyle {(\sqrt{x})'}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ , ונגזרת של סכום היא סכום הנגזרות.
נגזרת של מכפלה ונגזרת של מנה:

\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]'

\displaystyle =

\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}

נגזרת של פונקציה מורכבת: הנגזרת החיצונית כפול הנגזרת הפנימית.

\displaystyle \left[f(u(x))\right]'

\displaystyle =

\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)

משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$ :

\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)

המספר

\displaystyle e

המספר $\displaystyle e$ הוא מספר קבוע, כמו $\displaystyle \pi$ : $\displaystyle e\approx2.718$ . אחת הדרכים להגיע אליו היא הביטוי $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ כש- $\displaystyle n$ גדל:

$\displaystyle {n}={10}$ : $\displaystyle \left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}\approx2.594$
$\displaystyle {n}={100}$ : $\displaystyle \approx2.705$
$\displaystyle {n}={1000}$ : $\displaystyle \approx2.717$
$\displaystyle {n}={1{,}000{,}000}$ : $\displaystyle \approx2.71828$

הפונקציה $\displaystyle e^x$ היא פונקציה מעריכית שהבסיס שלה $\displaystyle e$ . הגרף שלה עובר בין הגרפים של $\displaystyle 2^x$ ושל $\displaystyle 3^x$ :

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=e^{x}

\displaystyle h(x)=3^{x}

\displaystyle y=x+1

כמו כל פונקציה מעריכית, $\displaystyle e^x$ חיובית, עולה, עוברת דרך $\displaystyle (0,1)$ והאסימפטוטה האופקית שלה $\displaystyle {y}={0}$ .
המשיק לגרף של $\displaystyle e^x$ בנקודה $\displaystyle (0,1)$ הוא $\displaystyle {y}={x+1}$ : השיפוע שלו 1. זה מה שמיוחד בבסיס $\displaystyle e$ .

הלוגריתם הטבעי

\displaystyle \ln x

הלוגריתם לפי הבסיס $\displaystyle e$ נקרא הלוגריתם הטבעי, ומסמנים אותו $\displaystyle \ln$ :

\displaystyle \ln x=\log_{e}x

$\displaystyle \ln x$ מוגדר רק כש- $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle {\ln1}={0}$ , $\displaystyle {\ln e}={1}$ , $\displaystyle {\ln e^x}={x}$ , $\displaystyle {e^{\ln x}}={x}$ .
חוקי הלוגריתמים נכונים גם ל- $\displaystyle \ln$ : $\displaystyle {\ln(xy)}={\ln x+\ln y}$ , $\displaystyle {\ln\frac{x}{y}}={\ln x-\ln y}$ , $\displaystyle {\ln x^b}={b\ln x}$ .
$\displaystyle {e^x}={5}$ פירושו $\displaystyle {x}={\ln5}$ .

הנגזרות של

\displaystyle e^x

ושל

\displaystyle \ln x

הנגזרת של $\displaystyle e^x$ היא $\displaystyle e^x$ עצמה: בכל נקודה השיפוע של המשיק שווה לגובה של הגרף. הנגזרת של $\displaystyle \ln x$ היא $\displaystyle \frac{1}{x}$ , בתחום ההגדרה $\displaystyle x>0$ .

\displaystyle (e^{x})'

\displaystyle =

\displaystyle e^{x}

\displaystyle (\ln x)'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{x}

בדוגמה שלפניכם נגזור סכום שבו שתי הפונקציות החדשות ופולינום:

\left(3e^x-2\ln x+x^2\right)'=3e^x-\frac{2}{x}+2x

הנגזרות של

\displaystyle e^{f(x)}

ושל

\displaystyle \ln f(x)

כש- $\displaystyle f(x)$ פולינום, $\displaystyle e^{f(x)}$ ו- $\displaystyle \ln f(x)$ הן פונקציות מורכבות: הנגזרת החיצונית כפול הנגזרת הפנימית $\displaystyle f'(x)$ .

\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]'

\displaystyle =

\displaystyle e^{f(x)}\cdot f'(x)

\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}

$\displaystyle {\left(e^{x^2-3x}\right)'}={(2x-3)e^{x^2-3x}}$ .
$\displaystyle {\left(\ln(x^2+1)\right)'}={\frac{2x}{x^2+1}}$ .
$\displaystyle \ln f(x)$ מוגדרת רק כש- $\displaystyle f(x)>0$ : תחום ההגדרה של $\displaystyle \ln(x^2+1)$ הוא כל $\displaystyle x$ , ושל $\displaystyle \ln(x-2)$ – רק $\displaystyle x>2$ .

מכפלה ומנה עם פולינום

בדוגמאות שלפניכם נגזור מכפלה ומנה, ונוציא גורם משותף כדי שיהיה קל לפתור אחר כך $\displaystyle {f'(x)}={0}$ :

\left(xe^{2x}\right)'=1\cdot e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=e^{2x}(1+2x)

\left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}

משוואת משיק

בדוגמה שלפניכם נמצא את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^x}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ :

נקודת ההשקה: $\displaystyle {f(1)}={e}$ , כלומר $\displaystyle (1,e)$ .
השיפוע: $\displaystyle {f'(x)}={e^x}$ , ולכן $\displaystyle {f'(1)}={e}$ .
המשיק: $\displaystyle {y-e}={e(x-1)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={ex}$ . המשיק עובר דרך ראשית הצירים.

תרגיל 1

גזרו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

גזרו, והוציאו גורם משותף אם יש.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={xe^{-x}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=xe^{-x}$

חשבו את השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$ .

$\displaystyle f(x)=xe^{-x}$

כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (0,0)$ .

\displaystyle f(x)=xe^{-x}

\displaystyle (0,0)

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-3)}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

חשבו את $\displaystyle f'(2)$ .

$\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-3)$

$\displaystyle {f(2)}={\ln1}={0}$ .
כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (2,0)$ .

\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-3)

\displaystyle (2,0)

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^{2x}}$ .
בנקודה אחת על הגרף השיפוע של המשיק הוא 2.
מצאו את הנקודה: פתרו משוואה, וכתבו את שיעורי הנקודה.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$