משוואות ואי־שוויונות מעריכיים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20לימוד

משוואות ואי־שוויונות מעריכיים

אותו בסיס בשני האגפים

פונקציה מעריכית עולה או יורדת, ולכן היא מקבלת כל ערך פעם אחת בלבד: שתי חזקות עם אותו בסיס שוות רק כשהמעריכים שלהן שווים.

\displaystyle a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

\displaystyle a>0,\ a\neq1

$\displaystyle {2^{x+1}}={32}$ : $\displaystyle {32}={2^5}$ , ולכן $\displaystyle {2^{x+1}}={2^5}$ , $\displaystyle {x+1}={5}$ ו- $\displaystyle {x}={4}$ .
$\displaystyle {9^x}={27}$ : שניהם חזקות של 3, ולכן $\displaystyle {3^{2x}}={3^3}$ , $\displaystyle {2x}={3}$ ו- $\displaystyle {x}={\frac{3}{2}}$ .

גורם משותף

במשוואה $\displaystyle {3^{x+2}-3^x}={72}$ יש שתי חזקות של 3 שהמעריכים שלהן נבדלים במספר: $\displaystyle {3^{x+2}}={9\cdot3^x}$ , ולכן $\displaystyle 3^x$ הוא גורם משותף.

3^x(9-1)=72

נחלק ב-8: $\displaystyle {3^x}={9}={3^2}$ .
לכן $\displaystyle {x}={2}$ .

ההצבה

\displaystyle {t}={a^x}

במשוואה $\displaystyle {4^x-6\cdot2^x+8}={0}$ , $\displaystyle {4^x}={(2^2)^x}={(2^x)^2}$ , ולכן בהצבה $\displaystyle {t}={2^x}$ המשוואה ריבועית:

t^2-6t+8=0

$\displaystyle {t}={2}$ או $\displaystyle {t}={4}$ .
$\displaystyle {2^x}={2}$ נותן $\displaystyle {x}={1}$ , ו- $\displaystyle {2^x}={4}$ נותן $\displaystyle {x}={2}$ .

ערך של $\displaystyle t$ שאינו חיובי לא נותן אף $\displaystyle x$ , כי $\displaystyle a^x>0$ לכל $\displaystyle x$ . במשוואה $\displaystyle {9^x-3^{x+1}-54}={0}$ , בהצבה $\displaystyle {t}={3^x}$ : $\displaystyle {t^2-3t-54}={0}$ , ולכן $\displaystyle {t}={9}$ או $\displaystyle {t}={-6}$ .

$\displaystyle {3^x}={9}$ נותן $\displaystyle {x}={2}$ .
ל- $\displaystyle {3^x}={-6}$ אין פתרון.

אי־שוויונות מעריכיים

פונקציה עולה שומרת על הסדר בין המספרים שמציבים בה, ופונקציה יורדת הופכת אותו:

כש- $\displaystyle a>1$ : $\displaystyle a^{f(x)}>a^{g(x)}$ בדיוק כש- $\displaystyle f(x)>g(x)$ .
כש- $\displaystyle 0<a<1$ : $\displaystyle a^{f(x)}>a^{g(x)}$ בדיוק כש- $\displaystyle f(x)<g(x)$ – הסימן מתהפך.

בדוגמאות שלפניכם נכתוב את שני האגפים כחזקות של בסיס אחד:

$\displaystyle {2^{x^2-3x}<16}={2^4}$ : הבסיס 2 שומר על הסימן, $\displaystyle x^2-3x<4$ , ולכן $\displaystyle -1<x<4$ .
$\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)^x>9}={\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}}$ : הבסיס $\displaystyle \frac{1}{3}$ הופך את הסימן, ולכן $\displaystyle x<-2$ .

תרגיל 1

פתרו.

תרגיל 2

פתרו בעזרת הוצאת גורם משותף.

תרגיל 3

פתרו בעזרת הצבה.

תרגיל 4

פתרו את אי־השוויונות.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$