הפונקציה המעריכית

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 2 מתוך 20לימוד

הפונקציה המעריכית

בפונקציה מעריכית המשתנה נמצא במעריך, והבסיס הוא מספר קבוע:

\displaystyle f(x)=a^{x}

\displaystyle a>0,\ a\neq1

לבסיס שלילי אין ערך בחלק מה- $\displaystyle x$ -ים: $\displaystyle {(-4)^{\frac{1}{2}}}={\sqrt{-4}}$ אינו מספר.
הבסיס 1 נותן $\displaystyle {1^x}={1}$ לכל $\displaystyle x$ – קו ישר, ולא סוג חדש של פונקציה.

טבלה של

\displaystyle 2^x

ושל

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x

כל צעד של 1 ב- $\displaystyle x$ כופל את $\displaystyle 2^x$ ב-2, ואת $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x$ ב- $\displaystyle \frac{1}{2}$ :

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle 2^x$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

\displaystyle y=0

התכונות של

\displaystyle a^x

הגרפים של $\displaystyle 2^x$ ושל $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x$ מראים את התכונות של כל פונקציה מעריכית:

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ .
נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle (0,1)$ , כי $\displaystyle {a^0}={1}$ . אין נקודת חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ .
חיובית לכל $\displaystyle x$ : בסיס חיובי בכל חזקה הוא חיובי.
האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$ : כש- $\displaystyle a>1$ הגרף מתקרב אליה משמאל, וכש- $\displaystyle 0<a<1$ – מימין.
כש- $\displaystyle a>1$ הפונקציה עולה; כש- $\displaystyle 0<a<1$ היא יורדת.

כמה בסיסים

כל הגרפים של $\displaystyle a^x$ עוברים דרך $\displaystyle (0,1)$ ; הבסיס קובע כמה הם תלולים.

כש- $\displaystyle x>0$ הגרף של הבסיס הגדול יותר נמצא למעלה: $\displaystyle 10^x>3^x>2^x$ .
כש- $\displaystyle x<0$ זה הפוך: $\displaystyle {10^{-1}}={\frac{1}{10}}$ קטן מ- $\displaystyle {2^{-1}}={\frac{1}{2}}$ .

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=3^{x}

\displaystyle h(x)=10^{x}

\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x

, השיקוף של

\displaystyle a^x

$\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)^x}={\frac{1}{2^x}}={2^{-x}}$ : ב- $\displaystyle x$ יש לה הערך ש- $\displaystyle 2^x$ מקבלת ב- $\displaystyle -x$ .

לכן הגרף של $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x$ הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle 2^x$ ביחס לציר ה- $\displaystyle y$ .
כך לכל בסיס: $\displaystyle {\left(\frac{1}{a}\right)^x}={a^{-x}}$ .

תרגיל 1

הפונקציה: $\displaystyle {f(x)}={4^x}$ .

חשבו את $\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את $\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)$ .

תרגיל 2

הפונקציות: $\displaystyle {f(x)}={3^x}$ , $\displaystyle {g(x)}={\left(\frac{1}{3}\right)^x}$ .

סמנו את נקודת החיתוך של הגרפים.

\displaystyle f(x)=3^{x}

\displaystyle g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

לאילו ערכי $\displaystyle x$ מתקיים $\displaystyle f(x)>g(x)$ ? הסבירו לפי הגרפים.

תרגיל 3

הגרף של הפונקציה המעריכית $\displaystyle {f(x)}={a^x}$ עובר דרך הנקודה הנתונה.
מצאו את $\displaystyle a$ , וכתבו את הפונקציה בשורה של הלוח.

הנקודה $\displaystyle A(2,9)$ .

\displaystyle A=(2,9)

הנקודה $\displaystyle B(-2,16)$ .

\displaystyle B=(-2,16)

תרגיל 4

הפונקציות: $\displaystyle 5^x$ , $\displaystyle 0.3^x$ , $\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^x$ , $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$ .
אילו מהן עולות, ואילו יורדות? הסבירו.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$