טרנספורמציות של הפונקציה המעריכית

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20לימוד

טרנספורמציות של הפונקציה המעריכית

מ-

\displaystyle 3^x

ל-

\displaystyle -2\cdot3^{x-1}+4

בדוגמה שלפניכם נבנה את $\displaystyle {q(x)}={-2\cdot3^{x-1}+4}$ מ- $\displaystyle {f(x)}={3^x}$ בשלושה צעדים, וכל צעד הוא טרנספורמציה של הגרף שלפניו:

$\displaystyle {g(x)}={3^{x-1}}={f(x-1)}$ : הגרף של $\displaystyle f$ מוזז ב-1 ימינה. הוא עובר דרך $\displaystyle (1,1)$ ; האסימפטוטה נשארת $\displaystyle {y}={0}$ .
$\displaystyle {h(x)}={-2\cdot3^{x-1}}={-2g(x)}$ : מתיחה אנכית פי 2 ושיקוף ביחס לציר ה- $\displaystyle x$ . עכשיו הפונקציה שלילית ויורדת; האסימפטוטה עדיין $\displaystyle {y}={0}$ .
$\displaystyle {q(x)}={-2\cdot3^{x-1}+4}={h(x)+4}$ : הזזה ב-4 למעלה. האסימפטוטה זזה איתה, ל- $\displaystyle {y}={4}$ .

\displaystyle f(x)=3^{x}

\displaystyle g(x)=3^{x-1}

\displaystyle h(x)=-2\cdot3^{x-1}

\displaystyle q(x)=-2\cdot3^{x-1}+4

\displaystyle y=4

התכונות של

\displaystyle q

התכונות של $\displaystyle {q(x)}={-2\cdot3^{x-1}+4}$ נובעות מהצעדים:

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ .
האסימפטוטה האופקית: $\displaystyle {y}={4}$ , משמאל.
נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {q(0)}={-2\cdot3^{-1}+4}={-\frac{2}{3}+4}={3\frac{1}{3}}$ .
יורדת לכל $\displaystyle x$ , ו- $\displaystyle q(x)<4$ לכל $\displaystyle x$ .
חותכת את ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle {3^{x-1}}={2}$ – משוואה שפותרים בעזרת לוגריתם, בשיעור מאוחר יותר.

הטרנספורמציות

כל שינוי בנוסחה מזיז את הגרף של $\displaystyle f$ בדרך משלו:

הנוסחה	הגרף של $\displaystyle f$	האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ הופכת ל-
$\displaystyle f(x)+k$	הזזה ב- $\displaystyle k$ למעלה ( $\displaystyle k<0$ : למטה)	$\displaystyle {y}={k}$
$\displaystyle f(x-h)$	הזזה ב- $\displaystyle h$ ימינה ( $\displaystyle h<0$ : שמאלה)	$\displaystyle {y}={0}$
$\displaystyle -f(x)$	שיקוף ביחס לציר ה- $\displaystyle x$	$\displaystyle {y}={0}$
$\displaystyle f(-x)$	שיקוף ביחס לציר ה- $\displaystyle y$	$\displaystyle {y}={0}$
$\displaystyle k\cdot f(x)$ , $\displaystyle k>0$	מתיחה אנכית ( $\displaystyle k<1$ : כיווץ)	$\displaystyle {y}={0}$
$\displaystyle \lvert f(x)\rvert$	החלק שמתחת לציר ה- $\displaystyle x$ משתקף למעלה	$\displaystyle {y}={0}$

רק הזזה אנכית מזיזה אסימפטוטה אופקית.
$\displaystyle f(-x)$ עבור $\displaystyle {f(x)}={3^x}$ היא $\displaystyle {3^{-x}}={\left(\frac{1}{3}\right)^x}$ : עולה הופכת ליורדת.

הערך המוחלט

\displaystyle \lvert2^x-4\rvert

הגרף של $\displaystyle 2^x-4$ נמצא מתחת לציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle x<2$ ; הערך המוחלט משקף את החלק הזה למעלה.

נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle {2^x}={4}$ , $\displaystyle {x}={2}$ . שם יש לגרף פינה חדה, נקודת מינימום $\displaystyle (2,0)$ .
משמאל הגרף מתקרב ל- $\displaystyle {y}={4}$ , השיקוף של האסימפטוטה $\displaystyle {y}={-4}$ .
יורדת כש- $\displaystyle x<2$ , עולה כש- $\displaystyle x>2$ .

\displaystyle f(x)=2^{x}-4

\displaystyle g(x)=|2^{x}-4|

\displaystyle y=4

תרגיל 1

הפונקציה: $\displaystyle {g(x)}={2^{x+1}-8}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף של $\displaystyle g$ עם הצירים.

\displaystyle g(x)=2^{x+1}-8

פתרו את המשוואה $\displaystyle {g(x)}={0}$ .

כתבו את משוואת האסימפטוטה של $\displaystyle g$ , וקבעו אם $\displaystyle g$ עולה או יורדת.

תרגיל 2

בלוח מוצגים הגרף של $\displaystyle {f(x)}={2^x}$ והגרף של טרנספורמציה שלה.
כתבו את הנוסחה של הגרף השני.

הגרף השני עובר דרך $\displaystyle (2,2)$ ו- $\displaystyle (3,3)$ , והאסימפטוטה שלו $\displaystyle {y}={1}$ .

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle y=\,?

\displaystyle y=1

\displaystyle (2,2)

\displaystyle (3,3)

הגרף השני עובר דרך $\displaystyle (0,2)$ ו- $\displaystyle (1,1)$ , והאסימפטוטה שלו $\displaystyle {y}={3}$ .

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle y=\,?

\displaystyle y=3

\displaystyle (0,2)

\displaystyle (1,1)

תרגיל 3

הפונקציה: $\displaystyle {h(x)}={\lvert3^x-9\rvert}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף של $\displaystyle h$ עם הצירים.

\displaystyle h(x)=|3^{x}-9|

כתבו את האסימפטוטה של $\displaystyle h$ , את נקודת המינימום שלה, ואת תחומי העלייה והירידה.

תרגיל 4

הפונקציה: $\displaystyle {k(x)}={5-\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ .

סמנו את נקודת החיתוך של הגרף של $\displaystyle k$ עם ציר ה- $\displaystyle y$ .

\displaystyle k(x)=5-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

מאילו טרנספורמציות של $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x$ בנויה $\displaystyle k$ ? כתבו את האסימפטוטה שלה, וקבעו אם היא עולה או יורדת.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$