דלג לתוכן

גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 15 מתוך 20לימוד

גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

הסימן של הנגזרת

הנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x) היא השיפוע של המשיק לגרף של f\displaystyle f, ולכן הסימן שלה אומר לאן הגרף של f\displaystyle f הולך:

  • בתחום שבו f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 – הפונקציה f\displaystyle f עולה.
  • בתחום שבו f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 – הפונקציה f\displaystyle f יורדת.
  • בנקודה שבה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} והסימן של f′\displaystyle f' מתחלף – ל-f\displaystyle f יש נקודת קיצון: מינוס לפני ופלוס אחרי – מינימום; פלוס לפני ומינוס אחרי – מקסימום.
  • בנקודה שבה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} והסימן לא מתחלף – אין נקודת קיצון.

לכן נקודות האפס של גרף הנגזרת הן שיעורי ה-x\displaystyle x של נקודות הקיצון של f\displaystyle f, והתחומים שבהם גרף הנגזרת מעל ציר ה-x\displaystyle x הם תחומי העלייה של f\displaystyle f.

פונקציה ונגזרת על אותם צירים

בגרף שלפניכם f(x)=xex\displaystyle {f(x)}={xe^x}, ובקו מקווקו הנגזרת שלה g(x)=f′(x)=ex(x+1)\displaystyle {g(x)}={f'(x)}={e^x(x+1)}:

f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^{x}
g(x)=ex(x+1)\displaystyle g(x)=e^{x}(x+1)
  • f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} רק כש-x=−1\displaystyle {x}={-1}, כי ex>0\displaystyle e^x>0 תמיד.
  • משמאל ל-−1\displaystyle -1 הגרף של f′\displaystyle f' מתחת לציר ה-x\displaystyle x, והגרף של f\displaystyle f יורד; מימין לו f′\displaystyle f' מעל הציר, ו-f\displaystyle f עולה.
  • לכן ל-f\displaystyle f יש מינימום כש-x=−1\displaystyle {x}={-1}: (−1,−1e)\displaystyle \left(-1,-\frac{1}{e}\right).
  • כש-x→−∞\displaystyle x\to-\infty שני הגרפים מתקרבים ל-y=0\displaystyle {y}={0}: זו האסימפטוטה האופקית של שניהם.
קריאת f\displaystyle f מגרף הנגזרת

מגרף של f′\displaystyle f' בלבד אפשר לדעת איך f\displaystyle f מתנהגת, גם בלי הנוסחה שלה:

  • איפה f\displaystyle f עולה ואיפה יורדת – לפי הצד של ציר ה-x\displaystyle x שבו נמצא גרף הנגזרת.
  • איפה יש ל-f\displaystyle f נקודות קיצון ומאיזה סוג – לפי נקודות האפס של f′\displaystyle f' והחלפת הסימן.
  • הגובה של f\displaystyle f עצמה (למשל f(0)\displaystyle f(0)) אינו נקרא מגרף הנגזרת: לשם כך צריך את הנוסחה של f\displaystyle f או נקודה על הגרף שלה.
פרמטר מגרף הנגזרת

נתונה הפונקציה f(x)=ex−2x−c\displaystyle {f(x)}={\frac{e^{x-2}}{x-c}}, ו-c\displaystyle c פרמטר. בציור הגרף של הנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x): הוא חותך את ציר ה-x\displaystyle x כש-x=2\displaystyle {x}={2}, ויש לו אסימפטוטה אנכית x=1\displaystyle {x}={1}.

g(x)=ex−2(x−2)(x−1)2\displaystyle g(x)=\frac{e^{x-2}(x-2)}{(x-1)^{2}}
x=1\displaystyle x=1
(2,0)\displaystyle (2,0)

בדוגמה שלפניכם נגזור את f\displaystyle f ונמצא את c\displaystyle c מנקודת האפס של הנגזרת:

f′(x)=ex−2(x−c)−ex−2⋅1(x−c)2=ex−2(x−c−1)(x−c)2f'(x)=\frac{e^{x-2}(x-c)-e^{x-2}\cdot1}{(x-c)^2}=\frac{e^{x-2}(x-c-1)}{(x-c)^2}
  • ex−2>0\displaystyle e^{x-2}>0, ולכן f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} רק כש-x=c+1\displaystyle {x}={c+1}.
  • מהציור f′(2)=0\displaystyle {f'(2)}={0}, ולכן c+1=2\displaystyle {c+1}={2}, כלומר c=1\displaystyle {c}={1}.
  • בדיקה: כש-c=1\displaystyle {c}={1} המכנה מתאפס כש-x=1\displaystyle {x}={1} – זו האסימפטוטה האנכית שבציור.
זיהוי גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

כששני גרפים מוצגים יחד, ואחד מהם הוא הנגזרת של השני, בודקים:

  • בנקודת קיצון של גרף אחד – האם הגרף האחר חותך שם את ציר ה-x\displaystyle x? אם כן, הגרף האחר יכול להיות הנגזרת.
  • בתחום שבו גרף אחד עולה – האם הגרף האחר נמצא שם מעל ציר ה-x\displaystyle x?
  • מספיק שתנאי אחד לא מתקיים, והגרף האחר אינו הנגזרת.
תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)ex\displaystyle {f(x)}={(x-1)e^x}.

א

מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^{x}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מצאו את תחום הירידה של f\displaystyle f: פתרו אי־שוויון.

    ג

    בציור f\displaystyle f, ובקו מקווקו הנגזרת שלה.
    סמנו את נקודת הקיצון של f\displaystyle f ואת נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x\displaystyle x.

    f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^{x}
    g(x)= ?\displaystyle g(x)=\,?

    תרגיל 2

    בציור הגרף של הנגזרת f′(x)=(x+2)(x−1)ex\displaystyle {f'(x)}={(x+2)(x-1)e^x} של פונקציה f\displaystyle f.
    סמנו את נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x\displaystyle x.

    g(x)=(x+2)(x−1)ex\displaystyle g(x)=(x+2)(x-1)e^{x}

    א

    מהם תחומי העלייה והירידה של f\displaystyle f?

    ב

    מהם שיעורי ה-x\displaystyle x של נקודות הקיצון של f\displaystyle f? קבעו את סוגן.

    תרגיל 3

    בציור הגרפים של שתי פונקציות, p\displaystyle p ו-q\displaystyle q.
    אחת מהן היא f(x)=ln⁡(x2+1)\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2+1)}, והשנייה היא הנגזרת שלה.
    איזו מהן היא f\displaystyle f, ואיזו f′\displaystyle f'? נמקו לפי הגרפים.

    p(x)= ?\displaystyle p(x)=\,?
    q(x)= ?\displaystyle q(x)=\,?
    ב

    גזרו את f\displaystyle f, ובדקו את התשובה.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 4

      נתונה הפונקציה f(x)=exx−c\displaystyle {f(x)}={\frac{e^x}{x-c}}, ו-c\displaystyle c פרמטר.
      בציור הגרף של הנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x).
      גרף הנגזרת חותך את ציר ה-x\displaystyle x כש-x=3\displaystyle {x}={3}.

      g(x)= ?\displaystyle g(x)=\,?
      x=2\displaystyle x=2
      א

      גזרו את f\displaystyle f, וחשבו את c\displaystyle c.

      ב

      הציבו את c\displaystyle c שמצאתם.
      מהו תחום ההגדרה של f\displaystyle f? מהם תחומי העלייה והירידה שלה?

      ג

      חשבו את f(3)\displaystyle f(3).
      כתבו את נקודת הקיצון של f\displaystyle f, וקבעו את סוגה.

      f(x)=exx−2\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{x-2}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה