גדילה ודעיכה

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

גדילה ודעיכה

תהליך של גדילה או דעיכה

בתהליך של גדילה או דעיכה הכמות מוכפלת באותו מספר $\displaystyle q$ בכל יחידת זמן – בכל שנה, בכל חודש או בכל שעה. המספר $\displaystyle q$ נקרא מקדם הגדילה (כש- $\displaystyle q>1$ ) או מקדם הדעיכה (כש- $\displaystyle 0<q<1$ ).

כמות שגדלה ב- $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן מוכפלת ב- $\displaystyle {q}={1+\frac{p}{100}}$ : גדילה של 4% – $\displaystyle {q}={1.04}$ .
כמות שקטנה ב- $\displaystyle p$ אחוזים מוכפלת ב- $\displaystyle {q}={1-\frac{p}{100}}$ : ירידה של 10% – $\displaystyle {q}={0.9}$ .

אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן הכמות מוכפלת $\displaystyle t$ פעמים ב- $\displaystyle q$ :

\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}

$\displaystyle f(0)$ – הכמות בהתחלה.
$\displaystyle f(t)$ – הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן.

הכמות אחרי זמן נתון

דנה הפקידה 20,000 ₪ בתוכנית חיסכון, בריבית של 4% לשנה.
בדוגמה שלפניכם נחשב את הסכום אחרי 5 שנים, ואחר כך אחרי הוספה של כסף.

מקדם הגדילה: $\displaystyle {q}={1.04}$ , ויחידת הזמן שנה.
אחרי 5 שנים: $\displaystyle {f(5)}={20000\cdot1.04^5\approx24333.06}$ ₪.
אחרי 5 השנים דנה הוסיפה 6,000 ₪. מכאן התהליך מתחיל מחדש, מכמות התחלתית של $\displaystyle {24333.06+6000}={30333.06}$ ₪.
כעבור עוד 3 שנים: $\displaystyle 30333.06\cdot1.04^3\approx34120.57$ ₪.

הגרף של תהליך גדילה ודעיכה

הגרף של $\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot q^t}$ הוא גרף של פונקציה מעריכית. בציור: החיסכון של דנה, $\displaystyle {f(x)}={20000\cdot1.04^x}$ , ולידו כמות שקטנה ב-10% בכל שנה, $\displaystyle {g(x)}={20000\cdot0.9^x}$ .

\displaystyle f(x)=20000\cdot1.04^{x}

\displaystyle g(x)=20000\cdot0.9^{x}

\displaystyle y=0

שני הגרפים חותכים את ציר ה- $\displaystyle y$ בכמות ההתחלתית, $\displaystyle (0,20000)$ .
כש- $\displaystyle q>1$ הגרף עולה, וכש- $\displaystyle 0<q<1$ הוא יורד.
בדעיכה הכמות מתקרבת ל-0, ואף פעם לא מגיעה אליו: האסימפטוטה האופקית היא $\displaystyle {y}={0}$ .

יחידת זמן אחידה

ב- $\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot q^t}$ הזמן $\displaystyle t$ נמדד באותה יחידה שבה נתון $\displaystyle q$ . כשהזמן נתון ביחידה אחרת, נעביר אותו ליחידה של $\displaystyle q$ .

הריבית של דנה היא 4% לשנה. אחרי 18 חודשים עברו $\displaystyle {t}={1.5}$ שנים: $\displaystyle 20000\cdot1.04^{1.5}\approx21211.92$ ₪.
מקדם הגדילה לחודש הוא המספר שמוכפל בעצמו 12 פעמים ונותן $\displaystyle 1.04$ : $\displaystyle 1.04^{\frac{1}{12}}\approx1.00327$ .
כלומר הסכום גדל בכ-0.33% בחודש, ולא ב- $\displaystyle \frac{4}{12}\%$ .

מציאת מקדם הדעיכה משתי כמויות

הערך של מכונית א’ היום הוא 60,000 ₪, והוא יורד בכל שנה ב-8% לעומת הערך שלה בשנה הקודמת.
הערך של מכונית ב’ היום הוא 79,000 ₪, והוא יורד בכל שנה באחוז קבוע.
בעוד 10 שנים הערך של שתי המכוניות יהיה שווה.

בדוגמה שלפניכם נמצא באיזה אחוז יורד הערך של מכונית ב’ בכל שנה.

הערך של מכונית א’ בעוד 10 שנים: $\displaystyle 60000\cdot0.92^{10}\approx26063.31$ ₪.
למכונית ב’: $\displaystyle {79000\cdot q^{10}}={26063.31}$ , ולכן $\displaystyle q^{10}\approx0.32991$ .
$\displaystyle {q}={0.32991^{\frac{1}{10}}\approx0.895}$ .
$\displaystyle {1-0.895}={0.105}$ : הערך של מכונית ב’ יורד בכ-10.5% בכל שנה.

תרגיל 1

בעיר גרים 50,000 תושבים.
מספר התושבים גדל בכל שנה ב-3%.

מהו מקדם הגדילה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה תושבים יגורו בעיר בעוד 10 שנים? עגלו למספר שלם.

תרגיל 2

מכונית נקנתה ב-120,000 ₪.
הערך שלה יורד בכל שנה ב-12%.

מה יהיה ערך המכונית אחרי 4 שנים? עגלו לאגורות.

בכמה אחוזים ירד ערך המכונית ב-4 השנים יחד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 3

בתחילת ניסוי היו בצלחת 200 חיידקים.
מספר החיידקים גדל פי 3 בכל 5 שעות.

פי כמה גדל מספר החיידקים בכל שעה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כמה חיידקים יהיו בצלחת אחרי 12 שעות? עגלו למספר שלם.

תרגיל 4

כמות גדלה בשלוש שנים מ-1,000 ל-1,331, באחוז קבוע בכל שנה.
כתבו משוואה ופתרו אותה, ואחר כך כתבו בכמה אחוזים גדלה הכמות בכל שנה.

תרגיל 5

בגוף של חולה יש 500 מ"ג של תרופה.
בכל שעה הכמות של התרופה בגוף קטנה ב-20%.
הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={500\cdot0.8^x}$ מתארת את כמות התרופה אחרי $\displaystyle x$ שעות.

סמנו על הגרף את הנקודה שבה הוא חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ , ואת הנקודה שבה כמות התרופה היא 256 מ"ג.

\displaystyle f(x)=500\cdot0.8^{x}

\displaystyle g(x)=256

פתרו את המשוואה: אחרי כמה שעות יישארו בגוף 256 מ"ג?

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$