זמן מחצית חיים ומציאת זמן

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

זמן מחצית חיים ומציאת זמן

מציאת הזמן בעזרת לוגריתם

כשהזמן $\displaystyle t$ נמצא במעריך, נגיע למשוואה $\displaystyle {q^t}={c}$ , ונפתור אותה בלוגריתם של שני האגפים:

t\cdot\log q=\log c\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{\log c}{\log q}

הצעד הראשון הוא חוק הלוגריתם של חזקה: $\displaystyle {\log q^t}={t\cdot\log q}$ .
כש- $\displaystyle c$ חזקה של $\displaystyle q$ ( $\displaystyle {2^t}={32}$ ) אפשר גם להשוות מעריכים: $\displaystyle {t}={5}$ .

תוכנית החיסכון של דנה

אחרי ההוספה של 6,000 ₪ היו בתוכנית החיסכון של דנה $\displaystyle 30333.06$ ₪, והריבית נשארה 4% לשנה.
בדוגמה שלפניכם נמצא כעבור כמה שנים יהיו בתוכנית 39,916 ₪, וכעבור כמה שנים יגדל הסכום פי 3.

$\displaystyle {30333.06\cdot1.04^t}={39916}$ , ולכן $\displaystyle {1.04^t}={\frac{39916}{30333.06}\approx1.31592}$ .
$\displaystyle {t}={\frac{\log1.31592}{\log1.04}\approx7.00}$ : כעבור 7 שנים.
הסכום גדל פי 3 כש- $\displaystyle {1.04^t}={3}$ , כלומר $\displaystyle {t}={\frac{\log3}{\log1.04}\approx28.01}$ : כעבור כ-28 שנים.
כדי שהסכום יגדל פי 3 לא צריך לדעת את הסכום עצמו: התשובה תלויה רק ב- $\displaystyle q$ .

זמן מחצית חיים

זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו כמות שדועכת קטנה לחצי. בכל פרק זמן כזה הכמות קטנה שוב לחצי: 100 ← 50 ← 25 ← …

\displaystyle q^{T}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}

$\displaystyle T$ – זמן מחצית החיים, ביחידת הזמן של $\displaystyle q$ .
זמן מחצית החיים לא תלוי בכמות ההתחלתית.
באותו אופן, בתהליך גדילה זמן ההכפלה $\displaystyle T$ מקיים $\displaystyle {q^T}={2}$ .

חומר רדיואקטיבי

מ-100 גרם של חומר רדיואקטיבי I נשארו אחרי 4 שנים 72 גרם שלא התפרקו.
זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי II גדול פי 2 מזמן מחצית החיים של חומר I.

בדוגמה שלפניכם נמצא את זמן מחצית החיים של חומר I, ואת האחוז שבו קטנה כמות החומר II בכל שנה.

חומר I: $\displaystyle {100\cdot q^4}={72}$ , ולכן $\displaystyle {q^4}={0.72}$ .
זמן מחצית החיים: $\displaystyle {q^T}={\frac{1}{2}}$ . נעלה את $\displaystyle {q^4}={0.72}$ בחזקת $\displaystyle \frac{T}{4}$ : $\displaystyle {0.72^{\frac{T}{4}}}={0.5}$ , ומכאן $\displaystyle {\frac{T}{4}\cdot\log0.72}={\log0.5}$ .
$\displaystyle {T}={\frac{4\log0.5}{\log0.72}\approx8.44}$ שנים.
חומר II: זמן מחצית החיים $\displaystyle {2\cdot8.44}={16.88}$ שנים, ולכן $\displaystyle {q}={0.5^{\frac{1}{16.88}}\approx0.9598}$ .
$\displaystyle {1-0.9598}={0.0402}$ : כמות החומר II קטנה בכל שנה בכ-4%.

השוואה בין שני תהליכים

בעיר א’ גרים 20,000 תושבים, ומספרם גדל ב-5% בכל שנה.
בעיר ב’ גרים 35,000 תושבים, ומספרם קטן ב-2% בכל שנה.

בדוגמה שלפניכם נמצא כעבור כמה שנים יגורו בשתי הערים אותו מספר תושבים. בגרף: $\displaystyle f$ – עיר א’, $\displaystyle g$ – עיר ב'.

\displaystyle f(x)=20000\cdot1.05^{x}

\displaystyle g(x)=35000\cdot0.98^{x}

$\displaystyle {20000\cdot1.05^t}={35000\cdot0.98^t}$ . נחלק את שני האגפים ב- $\displaystyle 20000\cdot0.98^t$ : $\displaystyle {\left(\frac{1.05}{0.98}\right)^t}={1.75}$ .
$\displaystyle {t}={\frac{\log1.75}{\log\frac{1.05}{0.98}}\approx8.11}$ : כעבור כ-8 שנים, בנקודה שבה הגרפים נפגשים.

תרגיל 1

במושבה של חיידקים היו בהתחלה 100 חיידקים.
מספר החיידקים מוכפל בכל שעה.
פתרו את המשוואה: אחרי כמה שעות יהיו במושבה 3,200 חיידקים?

תרגיל 2

סכום כסף הופקד בבנק בריבית של 5% לשנה.
כעבור כמה שנים יגדל הסכום פי 2? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 5 שנים.

בכמה אחוזים קטנה כמות החומר בכל שנה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כמה גרמים יישארו מ-200 גרם של החומר אחרי 12 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 4

מ-100 גרם של חומר רדיואקטיבי נשארו אחרי 3 שנים 80 גרם.
מהו זמן מחצית החיים של החומר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 5

ביישוב התגלה נגיף. כשהתגלה היו ביישוב 104 חולים, וכעבור 5 חודשים – 200 חולים.
מספר החולים עלה בקצב מעריכי קבוע.
ביום שבו היו ביישוב 200 חולים התחסנו כל תושביו, ומאותו יום מספר החולים ירד בקצב מעריכי קבוע.
3 חודשים אחרי החיסון היה מספר החולים קטן ב-40% ממספרם לפני החיסון.

פי כמה עלה מספר החולים בכל חודש לפני החיסון? עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

באיזה אחוז ירד מספר החולים בכל חודש אחרי החיסון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כמה חודשים אחרי החיסון יהיו ביישוב 20 חולים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$