אינטגרלים של $e^x$ ושל $\frac{1}{x}$

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

אינטגרלים של $e^x$ ושל $\frac{1}{x}$

תזכורת: פונקציה קדומה ואינטגרל

מכיתה י"א:

$\displaystyle F$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$ כש- $\displaystyle {F'(x)}={f(x)}$ .
לפונקציה יש אינסוף פונקציות קדומות, שההפרש ביניהן קבוע. את כולן כותבים כאינטגרל לא מסוים, עם $\displaystyle +C$ : $\displaystyle {\int 3x^2\,dx}={x^3+C}$ .
אינטגרל מסוים הוא מספר: ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בגבולות.

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

כדי למצוא פונקציה קדומה הופכים כלל גזירה: כל נגזרת חדשה מהשיעורים הקודמים נותנת אינטגרל חדש.

האינטגרלים של

\displaystyle e^x

ושל

\displaystyle e^{mx+b}

$\displaystyle {(e^x)'}={e^x}$ , ולכן $\displaystyle e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה. ב- $\displaystyle e^{mx+b}$ הנגזרת הפנימית היא $\displaystyle m$ , ולכן מחלקים ב- $\displaystyle m$ :

\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C

\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C

בדוגמה שלפניכם נמצא אינטגרל של סכום, איבר אחר איבר:

\int\left(e^{2x}+3\right)dx=\frac{e^{2x}}{2}+3x+C

בדיקה בגזירה: $\displaystyle {\left(\frac{e^{2x}}{2}+3x\right)'}={\frac{2e^{2x}}{2}+3}={e^{2x}+3}$ .

האינטגרלים של

\displaystyle \frac{1}{x}

ושל

\displaystyle \frac{1}{mx+b}

$\displaystyle {(\ln x)'}={\frac{1}{x}}$ כש- $\displaystyle x>0$ , וגם $\displaystyle {\left(\ln(-x)\right)'}={\frac{-1}{-x}}={\frac{1}{x}}$ כש- $\displaystyle x<0$ . שני המקרים יחד נכתבים בערך מוחלט:

\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C

$\displaystyle {\int\frac{3}{2x-1}\,dx}={\frac{3}{2}\ln|2x-1|+C}$ .
בתחום שבו $\displaystyle x>0$ אפשר לכתוב $\displaystyle \ln x$ בלי ערך מוחלט.

פונקציה קדומה שעוברת דרך נקודה

מכל הפונקציות הקדומות, דרך נקודה נתונה עוברת אחת בלבד. בדוגמה שלפניכם נמצא את הפונקציה $\displaystyle F$ שהנגזרת שלה $\displaystyle {F'(x)}={e^{2x}}$ , והגרף שלה עובר דרך $\displaystyle (0,3)$ :

$\displaystyle {F(x)}={\frac{e^{2x}}{2}+C}$ .
נציב את הנקודה: $\displaystyle {F(0)}={\frac{1}{2}+C}={3}$ , ולכן $\displaystyle {C}={\frac{5}{2}}$ .
$\displaystyle {F(x)}={\frac{e^{2x}}{2}+\frac{5}{2}}$ .

אינטגרל מסוים

בדוגמאות שלפניכם נחשב אינטגרל מסוים בעזרת פונקציה קדומה; התוצאה מדויקת, עם $\displaystyle e$ או $\displaystyle \ln$ :

\int_{0}^{1}e^x\,dx=\left[e^x\right]_{0}^{1}=e^1-e^0=e-1

\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=\left[\ln x\right]_{1}^{e}=\ln e-\ln1=1-0=1

\int_{0}^{\ln2}e^x\,dx=e^{\ln2}-e^0=2-1=1

אינטגרל של נגזרת

$\displaystyle f$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f'$ , ולכן אינטגרל של נגזרת מחושב בלי לגזור:

\displaystyle \int_{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={(\ln x)^2-4}$ :

\int_{1}^{e}f'(x)\,dx=f(e)-f(1)=(1-4)-(0-4)=1

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מצאו את האינטגרלים. בסעיף ב כדאי לחלק קודם כל איבר במונה ב- $\displaystyle e^x$ .

תרגיל 3

הנגזרת של פונקציה $\displaystyle F$ היא $\displaystyle {F'(x)}={e^x-\frac{1}{x}}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .
הגרף של $\displaystyle F$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle (1,e)$ .

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle F'$ .

מצאו את $\displaystyle C$ , וכתבו את $\displaystyle F(x)$ .

תרגיל 4

חשבו את האינטגרלים. כתבו תוצאה מדויקת.

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x\ln x}$ .
חשבו את האינטגרל בלי לגזור את $\displaystyle f$ .

$\displaystyle f(x)=x\ln x$

תרגיל 6

$\displaystyle a$ הוא פרמטר חיובי, ו- $\displaystyle {\int_{0}^{a}e^x\,dx}={2}$ .
חשבו את $\displaystyle a$ : כתבו משוואה ופתרו אותה.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$