חקירת פונקציות מעריכיות

חוקרים פונקציה עם $\displaystyle e^x$ באותם שלבים כמו פולינום או פונקציה רציונלית:

• תחום ההגדרה;
• נקודות החיתוך עם הצירים;
• הנגזרת, נקודות הקיצון ותחומי העלייה והירידה;
• תחומי החיוביות והשליליות;
• אסימפטוטות;
• סקיצה של הגרף.

$\displaystyle e^{f(x)}>0$ לכל $\displaystyle x$, ולכן בפונקציה מהצורה $\displaystyle e^{f(x)}\cdot g(x)$:

• $\displaystyle {e^{f(x)}\cdot g(x)}={0}$ רק כש-$\displaystyle {g(x)}={0}$;
• הסימן של $\displaystyle e^{f(x)}\cdot g(x)$ הוא הסימן של $\displaystyle g(x)$.

לכן כדאי להוציא את $\displaystyle e^{f(x)}$ כגורם משותף בנגזרת: $\displaystyle {e^{2x}(1+2x)}={0}$ רק כש-$\displaystyle {1+2x}={0}$.

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={xe^{2x}}$:

• תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$.
• חיתוך עם הצירים: $\displaystyle {xe^{2x}}={0}$ רק כש-$\displaystyle {x}={0}$. הגרף חותך את שני הצירים בראשית, $\displaystyle (0,0)$.
• הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={e^{2x}+2xe^{2x}}={e^{2x}(1+2x)}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={-\frac{1}{2}}$.
• כש-$\displaystyle x<-\frac{1}{2}$, $\displaystyle f'(x)<0$ – הפונקציה יורדת; כש-$\displaystyle x>-\frac{1}{2}$, $\displaystyle f'(x)>0$ – הפונקציה עולה.
• נקודת מינימום: $\displaystyle {f\left(-\frac{1}{2}\right)}={-\frac{1}{2}e^{-1}}={-\frac{1}{2e}}$, כלומר $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2e}\right)\approx(-0.5,-0.18)$. זה גם מינימום מוחלט.
• חיוביות ושליליות: הסימן של $\displaystyle f$ הוא הסימן של $\displaystyle x$ – חיובית כש-$\displaystyle x>0$, שלילית כש-$\displaystyle x<0$.

• כש-$\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle xe^{2x}$ קרובה ל-0: הישר $\displaystyle {y}={0}$ הוא אסימפטוטה אופקית בצד שמאל.

על אותה מערכת צירים, הגרף של $\displaystyle f$ (מקווקו) והגרף של הנגזרת $\displaystyle {g(x)}={f'(x)}={e^{2x}(1+2x)}$:

• הגרף של $\displaystyle f'$ חותך את ציר ה-$\displaystyle x$ ב-$\displaystyle {x}={-\frac{1}{2}}$, בדיוק מתחת לנקודת המינימום של $\displaystyle f$.
• משמאל ל-$\displaystyle -\frac{1}{2}$ הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר ה-$\displaystyle x$, ו-$\displaystyle f$ יורדת; מימין לו הוא מעל הציר, ו-$\displaystyle f$ עולה.

ל-$\displaystyle e^x$ יש אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$: כש-$\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle e^x$ קרובה ל-0. טרנספורמציה של $\displaystyle e^x$ מזיזה את האסימפטוטה:

• $\displaystyle {f(x)}={e^x+2}$: הזזה אנכית ב-2, והאסימפטוטה $\displaystyle {y}={2}$ (כש-$\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0).
• $\displaystyle {g(x)}={3-e^{-x}}$: $\displaystyle e^{-x}$ קרובה ל-0 כש-$\displaystyle x$ חיובי וגדול, ולכן האסימפטוטה $\displaystyle {y}={3}$ – בצד ימין.
• בפונקציה $\displaystyle a\cdot e^{mx+b}+k$ האסימפטוטה האופקית היא $\displaystyle {y}={k}$.

הגרף של הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x^2+ax+1)e^{-x}}$ נפגש עם ציר ה-$\displaystyle x$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={-1}$. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle a$ ונחקור את הפונקציה:

• $\displaystyle {f(-1)}={0}$: $\displaystyle {(1-a+1)e^{1}}={0}$, ו-$\displaystyle e\neq0$, ולכן $\displaystyle {2-a}={0}$ ו-$\displaystyle {a}={2}$.
• $\displaystyle {f(x)}={(x^2+2x+1)e^{-x}}={(x+1)^2e^{-x}}$.
• $\displaystyle {f'(x)}={2(x+1)e^{-x}-(x+1)^2e^{-x}}={e^{-x}(x+1)(1-x)}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={-1}$ או $\displaystyle {x}={1}$.
• $\displaystyle f$ יורדת כש-$\displaystyle x<-1$ וכש-$\displaystyle x>1$, ועולה כש-$\displaystyle -1<x<1$.
• מינימום $\displaystyle (-1,0)$, מקסימום $\displaystyle \left(1,\frac{4}{e}\right)\approx(1,1.47)$.
• $\displaystyle f(x)\geq0$ לכל $\displaystyle x$, והגרף חותך את ציר ה-$\displaystyle y$ ב-$\displaystyle (0,1)$.
• האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$, כש-$\displaystyle x$ חיובי וגדול.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-1)e^x}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$, והוציאו גורם משותף.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

מצאו את תחום העלייה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2e^{-x}}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$, והוציאו גורם משותף.

מצאו את תחומי העלייה והירידה.

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

קבעו את סוג כל נקודת קיצון, וכתבו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={-2e^{x-1}+4}$.

כתבו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית, וקבעו אם $\displaystyle g$ עולה או יורדת.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$\displaystyle x$: פתרו את המשוואה $\displaystyle {g(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x+a)e^x}$, ו-$\displaystyle a$ פרמטר.
לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $\displaystyle {x}={2}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

מצאו את $\displaystyle a$.

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם, וחשבו את שיעור ה-$\displaystyle y$ של נקודת הקיצון.
קבעו את סוגה, והסבירו.