חקירת פונקציות לוגריתמיות

$\displaystyle \ln f(x)$ מוגדרת רק כש-$\displaystyle f(x)>0$. לכן מוצאים את תחום ההגדרה בפתרון אי־שוויון:

• $\displaystyle \ln(x-2)$: $\displaystyle x-2>0$, כלומר $\displaystyle x>2$.
• $\displaystyle \ln(x^2-9)$: $\displaystyle x^2-9>0$, כלומר $\displaystyle x<-3$ או $\displaystyle x>3$.
• $\displaystyle \ln(4-x^2)$: $\displaystyle 4-x^2>0$, כלומר $\displaystyle -2<x<2$.
• במנה, המכנה שונה מ-0: ב-$\displaystyle \frac{1}{\ln x}$ צריך $\displaystyle x>0$ וגם $\displaystyle \ln x\neq0$, כלומר $\displaystyle x>0$ ו-$\displaystyle x\neq1$.

כש-$\displaystyle f(x)$ מתקרב ל-0, $\displaystyle \ln f(x)$ יורד בלי גבול. לכן לפונקציה $\displaystyle \ln f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית בכל קצה של תחום ההגדרה שבו $\displaystyle {f(x)}={0}$:

• ל-$\displaystyle \ln x$: $\displaystyle {x}={0}$; ל-$\displaystyle \ln(x-2)$: $\displaystyle {x}={2}$.
• ל-$\displaystyle \ln(x^2-9)$ שתי אסימפטוטות אנכיות: $\displaystyle {x}={-3}$ ו-$\displaystyle {x}={3}$.

בפונקציית מנה יש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המכנה מתאפס והמונה לא: ב-$\displaystyle \frac{2x}{\ln x-2}$ המכנה מתאפס כש-$\displaystyle {\ln x}={2}$, כלומר $\displaystyle {x}={e^2}$, והמונה שם $\displaystyle 2e^2\neq0$. לכן $\displaystyle {x}={e^2}$ אסימפטוטה אנכית.

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(\ln x)^2-2\ln x}$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$.
• חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {\ln x(\ln x-2)}={0}$, ולכן $\displaystyle {\ln x}={0}$ או $\displaystyle {\ln x}={2}$: $\displaystyle {x}={1}$ או $\displaystyle {x}={e^2}$. עם ציר ה-$\displaystyle y$ אין חיתוך, כי $\displaystyle {x}={0}$ אינו בתחום.
• הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2\ln x}{x}-\frac{2}{x}}={\frac{2\ln x-2}{x}}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {\ln x}={1}$, כלומר $\displaystyle {x}={e}$.
• המכנה $\displaystyle x$ חיובי בתחום, ולכן הסימן של $\displaystyle f'$ הוא הסימן של $\displaystyle 2\ln x-2$: יורדת כש-$\displaystyle 0<x<e$, עולה כש-$\displaystyle x>e$.
• נקודת מינימום: $\displaystyle {f(e)}={1-2}={-1}$, כלומר $\displaystyle (e,-1)$.
• חיובית כש-$\displaystyle 0<x<1$ וכש-$\displaystyle x>e^2$, שלילית כש-$\displaystyle 1<x<e^2$.
• כש-$\displaystyle x$ מתקרב ל-0, $\displaystyle \ln x$ יורד בלי גבול ו-$\displaystyle f(x)$ עולה בלי גבול: $\displaystyle {x}={0}$ אסימפטוטה אנכית.

פונקציה זוגית מקיימת $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$ לכל $\displaystyle x$ בתחום, והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-$\displaystyle y$. פונקציה אי־זוגית מקיימת $\displaystyle {f(-x)}={-f(x)}$, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.

בהוכחה שלפניכם נראה ש-$\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-9)}$ זוגית: התחום, $\displaystyle x<-3$ או $\displaystyle x>3$, סימטרי ביחס ל-0, ולכל $\displaystyle x$ בתחום

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2\ln(x^2-a)}$, ו-$\displaystyle a$ פרמטר חיובי.
השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={5}$ שווה ל-1.25.

בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle a$ ונחקור את הפונקציה:

• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2\cdot2x}{x^2-a}}={\frac{4x}{x^2-a}}$, ולכן $\displaystyle {f'(5)}={\frac{20}{25-a}}$.
• $\displaystyle {\frac{20}{25-a}}={1.25}$: $\displaystyle {25-a}={16}$, ולכן $\displaystyle {a}={9}$ ו-$\displaystyle {f(x)}={2\ln(x^2-9)}$.
• תחום ההגדרה: $\displaystyle x<-3$ או $\displaystyle x>3$; האסימפטוטות האנכיות: $\displaystyle {x}={-3}$ ו-$\displaystyle {x}={3}$.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{4x}{x^2-9}}$: כש-$\displaystyle x>3$ $\displaystyle f'(x)>0$ – עולה; כש-$\displaystyle x<-3$ $\displaystyle f'(x)<0$ – יורדת. אין נקודות קיצון.
• חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {x^2-9}={1}$, ולכן $\displaystyle {x}={\sqrt{10}}$ או $\displaystyle {x}={-\sqrt{10}}$. עם ציר ה-$\displaystyle y$ אין חיתוך.
• הפונקציה זוגית, כמו $\displaystyle \ln(x^2-9)$.
• הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={f(x-4)}$ היא הזזה של $\displaystyle f$ ב-4 ימינה: האסימפטוטות שלה $\displaystyle {x}={1}$ ו-$\displaystyle {x}={7}$, והגרף שלה סימטרי ביחס לישר $\displaystyle {x}={4}$ – לא ביחס לציר ה-$\displaystyle y$. $\displaystyle g$ אינה זוגית ואינה אי־זוגית.

מצאו את תחום ההגדרה של כל פונקציה: כתבו אי־שוויון ופתרו אותו.

$\displaystyle {f(x)}={\ln(x+4)}$

$\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-4x)}$

$\displaystyle {f(x)}={\ln(6-x-x^2)}$

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{x}}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

מצאו את תחום העלייה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$.

כתבו את שיעורי נקודת הקיצון ואת סוגה, ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2+a)}$, ו-$\displaystyle a$ פרמטר חיובי.
השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ שווה ל-1.

מצאו את $\displaystyle a$.

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם.
סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

הוכיחו ש-$\displaystyle f$ זוגית, ומצאו את תחום ההגדרה שלה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x}{\ln x-a}}$, ו-$\displaystyle a$ פרמטר חיובי.
הישר $\displaystyle {y}={2x}$ חותך את הגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={e^3}$.

מצאו את $\displaystyle a$.

הציבו $\displaystyle {a}={2}$.
מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.