חוקי הלוגריתמים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

חוקי הלוגריתמים

לוגריתם של מכפלה

סכום של לוגריתמים באותו בסיס הוא הלוגריתם של המכפלה:

\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y

\displaystyle =

\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)

\displaystyle x>0,\ y>0

החוק בא מחוק החזקות $\displaystyle {a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$ : אם $\displaystyle {\log_a x}={m}$ ו- $\displaystyle {\log_a y}={n}$ , אז $\displaystyle {x}={a^m}$ , $\displaystyle {y}={a^n}$ , ו- $\displaystyle {xy}={a^{m+n}}$ . לכן $\displaystyle {\log_a(xy)}={m+n}$ .
$\displaystyle {\log_6 4+\log_6 9}={\log_6 36}={2}$ : כל אחד מהלוגריתמים אינו מספר שלם, והסכום שלהם הוא 2.

לוגריתם של מנה

הפרש של לוגריתמים באותו בסיס הוא הלוגריתם של המנה:

\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y

\displaystyle =

\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)

\displaystyle x>0,\ y>0

החוק בא מ- $\displaystyle {\frac{a^m}{a^n}}={a^{m-n}}$ .
$\displaystyle {\log_2 24-\log_2 3}={\log_2 8}={3}$ .

לוגריתם של חזקה

המעריך של המספר יוצא אל לפני הלוגריתם:

\displaystyle \log_{a}(x^{b})

\displaystyle =

\displaystyle b\cdot\log_{a}x

\displaystyle x>0

החוק בא מ- $\displaystyle {(a^m)^b}={a^{mb}}$ .
$\displaystyle {2\log5+\log4}={\log5^2+\log4}={\log25+\log4}={\log100}={2}$ .

זהירות: מה שהחוקים אינם אומרים

$\displaystyle \log(x+y)$ אינו $\displaystyle \log x+\log y$ : $\displaystyle {\log(10+10)}={\log20\approx1.30}$ , ו- $\displaystyle {\log10+\log10}={2}$ .
$\displaystyle \log x\cdot\log y$ אינו $\displaystyle \log(xy)$ .
$\displaystyle \frac{\log x}{\log y}$ אינו $\displaystyle \log\frac{x}{y}$ .
החוקים נכונים רק כשכל הלוגריתמים בהם מוגדרים.

כתיבה כלוגריתם אחד, ובחזרה

החוקים עובדים בשני הכיוונים: מכמה לוגריתמים ללוגריתם אחד, ומלוגריתם אחד לסכום.

$\displaystyle {\log_2(8x)}={\log_2 8+\log_2 x}={3+\log_2 x}$ (כש- $\displaystyle x>0$ ).
$\displaystyle {\log_3(9x^2)}={\log_3 9+2\log_3 x}={2+2\log_3 x}$ (כש- $\displaystyle x>0$ ).
$\displaystyle {\log x+\log(x-3)}={\log(x(x-3))}={\log(x^2-3x)}$ (כש- $\displaystyle x>3$ ).

משוואה מעריכית: לוגריתם של שני האגפים

ב- $\displaystyle {3^x}={20}$ אי אפשר לכתוב את 20 כחזקה שלמה של 3. בפתרון שלפניכם ניקח $\displaystyle \log$ של שני האגפים, ונוציא את $\displaystyle x$ מהמעריך בחוק הלוגריתם של חזקה:

\log3^x=\log20

$\displaystyle {x\cdot\log3}={\log20}$ .
נחלק ב- $\displaystyle \log3$ : $\displaystyle {x}={\frac{\log20}{\log3}}$ – התשובה המדויקת.
במחשבון: $\displaystyle x\approx2.73$ . בדיקה: $\displaystyle 3^{2.73}\approx20$ .

תרגיל 1

חשבו בעזרת חוקי הלוגריתמים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

כתבו כלוגריתם אחד, או כמספר כפול לוגריתם אחד ( $\displaystyle x>0$ ).

תרגיל 3

כתבו את $\displaystyle \log_2(8x)$ כסכום של מספר ושל לוגריתם ( $\displaystyle x>0$ ).

תרגיל 4

נתונה המשוואה $\displaystyle {5^x}={8}$ .

פתרו אותה בלוגריתם של שני האגפים, ורשמו את התשובה המדויקת.

חשבו את $\displaystyle x$ במחשבון, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $\displaystyle {7^x}={2\cdot3^x}$ .
רשמו את התשובה המדויקת.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$