דלג לתוכן

חוקי החזקות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

חוקי החזקות

חוקי החזקות

בחזקה ax\displaystyle a^x, a\displaystyle a הוא הבסיס ו-x\displaystyle x הוא המעריך. כופלים ומחלקים חזקות עם אותו בסיס דרך המעריכים:

ax⋅ay\displaystyle a^{x}\cdot a^{y} =\displaystyle = ax+y\displaystyle a^{x+y}
axay\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}} =\displaystyle = ax−y\displaystyle a^{x-y}
(ax)y\displaystyle (a^{x})^{y} =\displaystyle = ax⋅y\displaystyle a^{x\cdot y}

חזקה של מכפלה או של מנה היא המכפלה או המנה של החזקות:

(a⋅b)x\displaystyle (a\cdot b)^{x} =\displaystyle = ax⋅bx\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}
(ab)x\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x} =\displaystyle = axbx\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}
מעריך 0 ומעריך שלילי

חוק המנה נותן משמעות למעריך 0 ולמעריך שלילי: a3a3=a0\displaystyle {\frac{a^{3}}{a^{3}}}={a^{0}} שווה ל-1, ו-a2a5=a−3\displaystyle {\frac{a^{2}}{a^{5}}}={a^{-3}} שווה ל-1a3\displaystyle \frac{1}{a^{3}}.

a0\displaystyle a^{0} =\displaystyle = 1\displaystyle 1a≠0\displaystyle a\neq0
a−x\displaystyle a^{-x} =\displaystyle = 1ax\displaystyle \frac{1}{a^{x}}
  • 2−3=123=18\displaystyle {2^{-3}}={\frac{1}{2^{3}}}={\frac{1}{8}}.
  • (23)−2=(32)2=94\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}={\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}={\frac{9}{4}}: מעריך שלילי הופך את השבר.
חזקה עם מעריך רציונלי

שבר במעריך הוא שורש: המכנה הוא סדר השורש, והמונה הוא החזקה. הבסיס חיובי.

amn\displaystyle a^{\frac{m}{n}} =\displaystyle = amn\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}a>0\displaystyle a>0
  • 823=(83)2=22=4\displaystyle {8^{\frac{2}{3}}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}}={2^{2}}={4}: נוח יותר להוציא קודם את השורש.
  • 16−34=11634=1(164)3=18\displaystyle {16^{-\frac{3}{4}}}={\frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}}={\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}}}={\frac{1}{8}}.
  • שורש הוא חזקה: x=x12\displaystyle {\sqrt{x}}={x^{\frac{1}{2}}}, x23=x23\displaystyle {\sqrt[3]{x^{2}}}={x^{\frac{2}{3}}}, 1x=x−12\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{x}}}={x^{-\frac{1}{2}}}.
  • כל חוקי החזקות נכונים גם למעריכים רציונליים.
דוגמה פתורה: מספר

בדוגמה שלפניכם נחשב את 2723⋅9−12\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}\cdot9^{-\frac{1}{2}}, ונכתוב את שני הבסיסים כחזקות של 3:

2723⋅9−12=(33)23⋅(32)−12=32⋅3−1=31=327^{\frac{2}{3}}\cdot9^{-\frac{1}{2}}=\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot\left(3^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=3^{2}\cdot3^{-1}=3^{1}=3
דוגמה פתורה: אותיות

בדוגמה שלפניכם נפשט ביטוי שבו a>0\displaystyle a>0, ונכתוב את התוצאה עם מעריך חיובי:

(a3)2⋅a−5a6=a6⋅a−5a3=a1a3=a−2=1a2\frac{(a^{3})^{2}\cdot a^{-5}}{\sqrt{a^{6}}}=\frac{a^{6}\cdot a^{-5}}{a^{3}}=\frac{a^{1}}{a^{3}}=a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}
  • השורש הוא חזקה: a6=a62=a3\displaystyle {\sqrt{a^{6}}}={a^{\frac{6}{2}}}={a^{3}}.
  • במונה המעריכים מתחברים, 6+(−5)=1\displaystyle {6+(-5)}={1}, ובמנה הם מתחסרים, 1−3=−2\displaystyle {1-3}={-2}.
תרגיל 1

חשבו.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          בכל הביטויים a>0\displaystyle a>0 ו-x>0\displaystyle x>0.
          פשטו, וכתבו את התוצאה עם מעריך חיובי.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 3

                  בכל הביטויים a>0\displaystyle a>0 ו-x>0\displaystyle x>0.
                  כתבו את השורשים כחזקות, ופשטו.

                  א

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      תרגיל 4

                      הערך של כל ביטוי זהה לכל x\displaystyle x.
                      מצאו אותו.

                      א

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה