משוואות ואי־שוויונות לוגריתמיים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

משוואות ואי־שוויונות לוגריתמיים

תחום ההגדרה קודם

משוואה עם לוגריתמים מתחילים מתחום ההגדרה: כל ביטוי בתוך לוגריתם חייב להיות חיובי.

בסוף בודקים כל פתרון מול התחום.
פתרון שאינו בתחום – אינו פתרון של המשוואה, גם אם הוא פתרון של המשוואה שהגענו אליה בדרך.

לוגריתם אחד שווה למספר

$\displaystyle {\log_2(x+1)}={3}$ . התחום: $\displaystyle x>-1$ . לפי הגדרת הלוגריתם:

x+1=2^3

$\displaystyle {x+1}={8}$ , ולכן $\displaystyle {x}={7}$ .
$\displaystyle 7>-1$ : הפתרון בתחום.

סכום של לוגריתמים

$\displaystyle {\log x+\log(x-3)}={1}$ . בפתרון שלפניכם נמצא את התחום, נחבר את הלוגריתמים בחוק הלוגריתם של מכפלה, ונעבור לצורת חזקה.

התחום: $\displaystyle x>0$ וגם $\displaystyle x>3$ , כלומר $\displaystyle x>3$ .
$\displaystyle {\log(x(x-3))}={1}$ , ולכן $\displaystyle {x^2-3x}={10^1}$ .
$\displaystyle {x^2-3x-10}={0}$ : $\displaystyle {x}={5}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ .
$\displaystyle -2$ אינו בתחום. הפתרון: $\displaystyle {x}={5}$ .

לוגריתם שווה ללוגריתם

שני מספרים שונים לא יכולים לתת אותו לוגריתם באותו בסיס. לכן כש- $\displaystyle {\log_a f(x)}={\log_a g(x)}$ , אז $\displaystyle {f(x)}={g(x)}$ .

$\displaystyle {\log_2(x+3)}={\log_2(2x)}$ . התחום: $\displaystyle x>-3$ וגם $\displaystyle x>0$ , כלומר $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle {x+3}={2x}$ , ולכן $\displaystyle {x}={3}$ , בתחום.
$\displaystyle {\log_3(x^2-2x)}={1}$ הוא גם כזה: $\displaystyle {1}={\log_3 3}$ , ולכן $\displaystyle {x^2-2x}={3}$ , ו- $\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-1}$ . בשניהם $\displaystyle {x^2-2x}={3>0}$ , ולכן שניהם פתרונות.

הצבה

\displaystyle {t}={\log x}

ב- $\displaystyle {(\log x)^2-3\log x+2}={0}$ הנעלם מופיע רק בתוך $\displaystyle \log x$ . נציב $\displaystyle {t}={\log x}$ ונקבל משוואה ריבועית:

t^2-3t+2=0

$\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={2}$ .
$\displaystyle {\log x}={1}$ : $\displaystyle {x}={10}$ . $\displaystyle {\log x}={2}$ : $\displaystyle {x}={100}$ .
התחום $\displaystyle x>0$ : שני הפתרונות בו.

אי־שוויון בין לוגריתמים באותו בסיס

בתוך תחום ההגדרה:

$\displaystyle a>1$ : הפונקציה $\displaystyle \log_a x$ עולה, ולכן $\displaystyle \log_a f(x)>\log_a g(x)$ כש- $\displaystyle f(x)>g(x)$ – הסימן נשמר.
$\displaystyle 0<a<1$ : הפונקציה $\displaystyle \log_a x$ יורדת, ולכן $\displaystyle \log_a f(x)>\log_a g(x)$ כש- $\displaystyle f(x)<g(x)$ – הסימן מתהפך.
מספר באגף השני כותבים כלוגריתם באותו בסיס: $\displaystyle {3}={\log_2 8}$ , $\displaystyle {-2}={\log_{\frac{1}{2}}4}$ .
התשובה היא החלק המשותף לפתרון ולתחום ההגדרה.

דוגמאות לאי־שוויונות

$\displaystyle \log_2(x-1)<3$ : התחום $\displaystyle x>1$ . $\displaystyle {3}={\log_2 8}$ והבסיס גדול מ-1, ולכן $\displaystyle x-1<8$ , כלומר $\displaystyle x<9$ . יחד עם התחום: $\displaystyle 1<x<9$ .
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(x-1)>-2$ : התחום $\displaystyle x>1$ . $\displaystyle {-2}={\log_{\frac{1}{2}}4}$ והבסיס קטן מ-1, ולכן הסימן מתהפך: $\displaystyle x-1<4$ , כלומר $\displaystyle x<5$ . יחד עם התחום: $\displaystyle 1<x<5$ .
$\displaystyle \log_3(x^2-2x)<1$ : התחום $\displaystyle x^2-2x>0$ , כלומר $\displaystyle x<0$ או $\displaystyle x>2$ . $\displaystyle x^2-2x<3$ נותן $\displaystyle -1<x<3$ . החלק המשותף: $\displaystyle -1<x<0$ או $\displaystyle 2<x<3$ .

תרגיל 1

פתרו את המשוואות.

תרגיל 2

פתרו את המשוואה.

תרגיל 3

פתרו את אי־השוויונות.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$