הפונקציה הלוגריתמית

פונקציה לוגריתמית היא $\displaystyle {f(x)}={\log_a x}$, כאשר $\displaystyle a>0$ ו-$\displaystyle a\neq1$. טבלת ערכים של $\displaystyle {f(x)}={\log_2 x}$:

• כש-$\displaystyle x$ גדל פי 2, הערך גדל ב-1: הגרף עולה, אבל לאט.
• כש-$\displaystyle x$ מתקרב ל-0, הערך יורד בלי גבול.

בציור הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={\log_2 x}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={\log_{\frac{1}{2}}x}$. כל אחד מהם הוא השיקוף של השני ביחס לציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {\log_{\frac{1}{2}}x}={-\log_2 x}$.

• תחום הגדרה: $\displaystyle x>0$. אין לוגריתם של 0 ושל מספר שלילי, ולכן הגרף כולו מימין לציר ה-$\displaystyle y$.
• נקודת חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle (1,0)$, כי $\displaystyle {\log_a 1}={0}$. אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle y$.
• אסימפטוטה אנכית: $\displaystyle {x}={0}$ – ציר ה-$\displaystyle y$. הגרף מתקרב אליו כש-$\displaystyle x$ מתקרב ל-0.
• $\displaystyle a>1$: הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה; חיובית כש-$\displaystyle x>1$, שלילית כש-$\displaystyle 0<x<1$.
• $\displaystyle 0<a<1$: הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה; חיובית כש-$\displaystyle 0<x<1$, שלילית כש-$\displaystyle x>1$.

$\displaystyle \log_2 x$ עושה את ההפך מ-$\displaystyle 2^x$: הנקודה $\displaystyle (1,2)$ על הגרף של $\displaystyle 2^x$, והנקודה $\displaystyle (2,1)$ על הגרף של $\displaystyle \log_2 x$.

• כל נקודה $\displaystyle (p,q)$ על הגרף של $\displaystyle a^x$ מתאימה לנקודה $\displaystyle (q,p)$ על הגרף של $\displaystyle \log_a x$.
• לכן שני הגרפים הם שיקוף זה של זה ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$.
• התכונות מתחלפות: האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$ של $\displaystyle a^x$ היא האסימפטוטה האנכית $\displaystyle {x}={0}$ של $\displaystyle \log_a x$; הנקודה $\displaystyle (0,1)$ היא הנקודה $\displaystyle (1,0)$.

בציור ארבע פונקציות, מ-$\displaystyle \log x$ ועד $\displaystyle 3\log x+4$:

• $\displaystyle {g(x)}={\log(x-1)}$: הזזה אופקית של 1 ימינה. גם תחום ההגדרה זז – $\displaystyle x>1$ – וגם האסימפטוטה: $\displaystyle {x}={1}$. נקודת החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$ היא $\displaystyle (2,0)$.
• $\displaystyle {h(x)}={3\log x}$: מתיחה אנכית פי 3. תחום ההגדרה, האסימפטוטה $\displaystyle {x}={0}$ והנקודה $\displaystyle (1,0)$ לא משתנים.
• $\displaystyle {k(x)}={3\log x+4}$: הזזה אנכית של 4 למעלה. נקודת החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {3\log x+4}={0}$, כלומר $\displaystyle {\log x}={-\frac{4}{3}}$, ו-$\displaystyle {x}={10^{-\frac{4}{3}}\approx0.046}$.

בציור $\displaystyle {f(x)}={\log_2 x}$ ושלוש פעולות עליה:

• $\displaystyle {g(x)}={\log_2(-x)}$: שיקוף ביחס לציר ה-$\displaystyle y$. תחום ההגדרה: $\displaystyle -x>0$, כלומר $\displaystyle x<0$.
• $\displaystyle {h(x)}={-\log_2 x}$: שיקוף ביחס לציר ה-$\displaystyle x$. הפונקציה יורדת.
• $\displaystyle {k(x)}={|\log_2 x|}$: החלק שמתחת לציר ה-$\displaystyle x$ (כש-$\displaystyle 0<x<1$) עולה מעליו. $\displaystyle k(x)\geq0$, והמינימום שלה בנקודה $\displaystyle (1,0)$.

$\displaystyle \log_a f(x)$ מוגדרת רק כש-$\displaystyle f(x)>0$. בדוגמה שלפניכם נמצא את תחום ההגדרה של $\displaystyle \log(x^2-4)$:

• הפרבולה $\displaystyle x^2-4$ חיובית מחוץ לשורשים $\displaystyle -2$ ו-$\displaystyle 2$: $\displaystyle x<-2$ או $\displaystyle x>2$.
• כש-$\displaystyle x$ מתקרב ל-$\displaystyle 2$ או ל-$\displaystyle -2$ מתוך התחום, $\displaystyle x^2-4$ מתקרב ל-0, והלוגריתם יורד בלי גבול: לגרף שתי אסימפטוטות אנכיות, $\displaystyle {x}={2}$ ו-$\displaystyle {x}={-2}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\log_2(x+2)}$.

מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית.

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

הגרף של $\displaystyle {y}={\log_a x}$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle (9,2)$.
רשמו את הפונקציה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\log_6(x^2-5x)}$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

רשמו את המשוואות של האסימפטוטות האנכיות.

באילו ערכי $\displaystyle x$ מתקיים $\displaystyle {f(x)}={1}$?

סמנו את הנקודות שבהן הגרף של $\displaystyle f$ פוגש את הישר $\displaystyle {y}={1}$.

השוו בין $\displaystyle {f(x)}={\log_3 x}$ לבין $\displaystyle {g(x)}={\log_{\frac{1}{3}}x}$: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, תחומי עלייה וירידה, אסימפטוטות.