הלוגריתם

במשוואה $\displaystyle {2^x}={8}$ ידועים הבסיס, 2, והתוצאה, 8; חסר המעריך. המעריך הוא 3, כי $\displaystyle {2^3}={8}$.

• המעריך הזה נקרא הלוגריתם של 8 בבסיס 2, וכותבים $\displaystyle {\log_2 8}={3}$.
• חישוב הלוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לפעולת החזקה: החזקה נותנת את התוצאה מהבסיס ומהמעריך, והלוגריתם נותן את המעריך מהבסיס ומהתוצאה.

$\displaystyle \log_a x$ הוא המעריך שבו צריך להעלות את $\displaystyle a$ כדי לקבל $\displaystyle x$:

• $\displaystyle a$ נקרא הבסיס של הלוגריתם.
• הבסיס חיובי ושונה מ-1, כמו הבסיס של פונקציה מעריכית: לכל חזקה של 1 התוצאה היא 1, ולכן $\displaystyle \log_1 5$ לא היה מוגדר.

כדי לחשב לוגריתם נכתוב את המספר כחזקה של הבסיס:

• $\displaystyle {\log_2 32}={5}$, כי $\displaystyle {2^5}={32}$.
• $\displaystyle {\log_3\frac{1}{9}}={-2}$, כי $\displaystyle {3^{-2}}={\frac{1}{9}}$.
• $\displaystyle {\log_9 27}={\frac{3}{2}}$, כי $\displaystyle {9^{\frac{3}{2}}}={\left(\sqrt{9}\right)^3}={27}$.
• $\displaystyle {\log_5 1}={0}$, כי $\displaystyle {5^0}={1}$; כך בכל בסיס: $\displaystyle {\log_a 1}={0}$.
• $\displaystyle {\log_7 7}={1}$, כי $\displaystyle {7^1}={7}$; כך בכל בסיס: $\displaystyle {\log_a a}={1}$.

חזקה של בסיס חיובי היא תמיד מספר חיובי: $\displaystyle a^b>0$ לכל $\displaystyle b$.

• לכן אין מעריך $\displaystyle b$ שנותן $\displaystyle {a^b}={0}$ או $\displaystyle {a^b}={-4}$.
• $\displaystyle \log_a x$ מוגדר רק כש-$\displaystyle x>0$: $\displaystyle \log_2 0$ ו-$\displaystyle \log_2(-4)$ אינם מוגדרים.
• הלוגריתם עצמו יכול להיות שלילי: $\displaystyle {\log_2\frac{1}{8}}={-3}$.

לוגריתם לפי בסיס 10 כותבים בלי הבסיס: $\displaystyle \log x$ פירושו $\displaystyle \log_{10}x$.

• $\displaystyle {\log1000}={3}$, $\displaystyle {\log0.01}={-2}$.
• במחשבון יש מקש log, שנותן את הלוגריתם לפי בסיס 10 של כל מספר חיובי: $\displaystyle \log50\approx1.699$.
• $\displaystyle \log50$ בין 1 ל-2, כי 50 בין $\displaystyle 10^1$ ל-$\displaystyle 10^2$.

הלוגריתם הוא המעריך, ולכן שתי הפעולות, זו אחר זו, מחזירות את המספר שהתחלנו ממנו:

• $\displaystyle {5^{\log_5 7}}={7}$.
• $\displaystyle {\log_3 3^8}={8}$.

משוואה שהנעלם שלה בתוך לוגריתם, או במעריך, נפתרת בהגדרה: נעבור מצורת לוגריתם לצורת חזקה, או להפך.

• $\displaystyle {\log_2 x}={5}$: לפי ההגדרה $\displaystyle {x}={2^5}$, כלומר $\displaystyle {x}={32}$.
• $\displaystyle {\log_x 49}={2}$: לפי ההגדרה $\displaystyle {x^2}={49}$. הבסיס חיובי, ולכן $\displaystyle {x}={7}$ ($\displaystyle {x}={-7}$ אינו בסיס).
• $\displaystyle {2^x}={7}$: המעריך שבו מעלים את 2 כדי לקבל 7 הוא, לפי ההגדרה, $\displaystyle {x}={\log_2 7}$. זו התשובה המדויקת. מכיוון ש-$\displaystyle {2^2}={4}$ ו-$\displaystyle {2^3}={8}$, הערך בין 2 ל-3.

חשבו.

פתרו את המשוואות.

נתונה המשוואה $\displaystyle {10^x}={50}$.

פתרו אותה, ורשמו את התשובה המדויקת.

חשבו את $\displaystyle x$ במחשבון, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא $\displaystyle \log_2 20$? הסבירו בלי מחשבון.