דלג לתוכן

תרגול: נגזרות וחקירה

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20תרגול

תרגול: נגזרות וחקירה

1

גזרו.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          2

          נתונה הפונקציה f(x)=ex−2x\displaystyle {f(x)}={e^x-2x}.

          א

          חשבו את השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה x=0\displaystyle {x}={0}.

          f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^{x}-2x

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            f(0)=1\displaystyle {f(0)}={1}.
            כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה (0,1)\displaystyle (0,1).

            f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^{x}-2x
            (0,1)\displaystyle (0,1)

            3

            נתונה הפונקציה f(x)=(x−2)ex\displaystyle {f(x)}={(x-2)e^x}.

            א

            מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

            f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^{x}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

              f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^{x}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                מצאו את תחום העלייה של הפונקציה.

                ד

                סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

                f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^{x}

                4

                נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xx\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{x}}.

                א

                מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

                ב

                מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

                  ד

                  סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x\displaystyle x.

                  f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

                  5

                  נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−4x+5)\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-4x+5)}.

                  א

                  מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: פתרו אי־שוויון.

                  ב

                  מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                  f(x)=ln⁡(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-4x+5)

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ג

                    סמנו על הגרף את נקודת הקיצון של הפונקציה.

                    f(x)=ln⁡(x2−4x+5)\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-4x+5)

                    6

                    נתונה הפונקציה f(x)=e−x2\displaystyle {f(x)}={e^{-x^2}}.

                    א

                    הוכיחו שהפונקציה זוגית. מה המשמעות של זה לגבי הגרף שלה?

                    ב

                    מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                    f(x)=e−x2\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      סמנו על הגרף את נקודת הקיצון של הפונקציה.
                      מהי האסימפטוטה האופקית של הגרף?

                      f(x)=e−x2\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}

                      7

                      נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2+a)}, ו-a\displaystyle a פרמטר חיובי.
                      השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1\displaystyle {x}={1} הוא 1.

                      א

                      חשבו את a\displaystyle a.

                      ב

                      הציבו את a\displaystyle a שמצאתם.
                      כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1\displaystyle {x}={1}.

                      f(x)=ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}+1)

                      8

                      נתונה הפונקציה f(x)=x−ln⁡x\displaystyle {f(x)}={x-\ln x}.

                      א

                      מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                      f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                        מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

                        ג

                        סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.
                        מהי האסימפטוטה האנכית של הגרף?

                        f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x

                        9

                        נתונה הפונקציה f(x)=2ln⁡(x2−9)\displaystyle {f(x)}={2\ln(x^2-9)}.

                        א

                        מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
                        מהן האסימפטוטות האנכיות של הגרף?

                        ב

                        מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).
                        מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

                        f(x)=2ln⁡(x2−9)\displaystyle f(x)=2\ln(x^{2}-9)

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ג

                          מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x\displaystyle x.

                          ד

                          סמנו את נקודות החיתוך על הגרף.
                          האם הפונקציה זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמקו.

                          f(x)=2ln⁡(x2−9)\displaystyle f(x)=2\ln(x^{2}-9)

                          10

                          בציור הגרפים של שתי פונקציות, p\displaystyle p ו-q\displaystyle q.
                          אחת מהן היא f(x)=(ln⁡x)2−4\displaystyle {f(x)}={(\ln x)^2-4}, והשנייה היא הנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x).

                          p(x)= ?\displaystyle p(x)=\,?
                          q(x)= ?\displaystyle q(x)=\,?
                          א

                          איזו מהן היא f\displaystyle f, ואיזו f′\displaystyle f'? נמקו.

                          ב

                          מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f\displaystyle f עם ציר ה-x\displaystyle x.