חזרה: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פתרו.

פתרו. שימו לב לתחום ההגדרה.

ערכה של מכונית חדשה הוא 120,000 ₪.
בכל שנה ערכה יורד ב-12% לעומת ערכה בשנה הקודמת.

מה יהיה ערך המכונית אחרי 5 שנים? עגלו לאגורות.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

אחרי כמה שנים ערך המכונית יהיה לראשונה פחות ממחצית ערכה ההתחלתי? פתרו בעזרת לוגריתם, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

ערך המכונית יורד בקצב קבוע גם מחודש לחודש.
חשבו את מקדם הדעיכה החודשי, ועגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.
בכמה אחוזים יורד ערך המכונית בכל חודש?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x+a)e^x}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ . הוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=(x+a)e^{x}$

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$ מקביל לישר $\displaystyle {y}={3x}$ .
מצאו את $\displaystyle a$ .

הציבו $\displaystyle {a}={2}$ וענו על שאר הסעיפים.
מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת תחומי העלייה והירידה.

ל- $\displaystyle f(x)$ אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$ .
סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים ואת נקודת הקיצון.

\displaystyle f(x)=(x+2)e^{x}

\displaystyle y=0

הראו ש- $\displaystyle {F(x)}={(x+1)e^x}$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f(x)$ : גזרו את $\displaystyle F(x)$ .

$\displaystyle F(x)=(x+1)e^{x}$

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle f(x)$ , ציר ה- $\displaystyle x$ וציר ה- $\displaystyle y$ .

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{x}}$ .

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? כתבו את משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת תחומי העלייה והירידה.

סמנו על הגרף את נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ואת נקודת הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

\displaystyle x=0

הראו ש- $\displaystyle {F(x)}={\frac{(\ln x)^2}{2}}$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f(x)$ .

$\displaystyle F(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{2}$

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle f(x)$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישר $\displaystyle {x}={e}$ .

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^x-2x}$ .
בציור הגרף של $\displaystyle f(x)$ והגרף של פונקציית הנגזרת $\displaystyle f'(x)$ .

\displaystyle y=\,?

\displaystyle y=\,?

איזה מהגרפים הוא הגרף של $\displaystyle f'(x)$ – הראשון ברשימה או השני? נמקו בעזרת תכונות של הגרפים.

מצאו את שיעור ה- $\displaystyle x$ של נקודת הקיצון של $\displaystyle f(x)$ .

חשבו את שיעור ה- $\displaystyle y$ של נקודת הקיצון.

$\displaystyle f(x)=e^{x}-2x$

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$