חוצי זוויות ומשפט חוצה הזווית

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

חוצי זוויות ומשפט חוצה הזווית

חוצה הזווית כמקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא כל הנקודות שיש להן תכונה מסוימת – ורק הן.

משפט: חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית.

המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך ממנה אל הישר;
המשפט אומר שני דברים: כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים מהשוקיים (ההוכחה שלפניכם), וכל נקודה שבמרחקים שווים מהשוקיים נמצאת על חוצה הזווית (תרגיל 1).

נתון: $\displaystyle AP$ חוצה את הזווית $\displaystyle BAC$ ; $\displaystyle PK\perp AB$ ו- $\displaystyle PL\perp AC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {PK}={PL}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle AKP$ ו- $\displaystyle ALP$ חופפים (ז.צ.ז).

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle KAP}={\angle LAP}$	נתון ( $\displaystyle AP$ חוצה את הזווית)
2	$\displaystyle {\angle AKP}={\angle ALP}$	$\displaystyle PK\perp AB$ , $\displaystyle PL\perp AC$ – שתי הזוויות ישרות
3	$\displaystyle {\angle APK}={\angle APL}$	(1), (2); סכום הזוויות במשולש $\displaystyle 180^{\circ}$
4	$\displaystyle {AP}={AP}$	צלע משותפת
5	$\displaystyle \triangle AKP\cong\triangle ALP$	(1), (3), (4); משפט החפיפה ז.צ.ז
6	$\displaystyle {PK}={PL}$	(5); צלעות מתאימות במשולשים חופפים

תרגיל 1

הנקודה $\displaystyle P$ בתוך הזווית $\displaystyle BAC$ .
$\displaystyle PK\perp AB$ , $\displaystyle PL\perp AC$ , ו- $\displaystyle {PK}={PL}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle KAP}={\angle LAP}$ – כלומר, $\displaystyle P$ על חוצה הזווית.
(רמז: משפט החפיפה צ.צ.ז.)

מפגש חוצי הזוויות

משפט: שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת.

$\displaystyle I$ – נקודת החיתוך של חוצה הזווית $\displaystyle A$ וחוצה הזווית $\displaystyle B$ ;
$\displaystyle I$ על חוצה הזווית $\displaystyle A$ , ולכן במרחקים שווים מ- $\displaystyle AB$ ומ- $\displaystyle AC$ ; היא על חוצה הזווית $\displaystyle B$ , ולכן במרחקים שווים מ- $\displaystyle AB$ ומ- $\displaystyle BC$ ;
לכן היא במרחקים שווים מ- $\displaystyle AC$ ומ- $\displaystyle BC$ – והיא על חוצה הזווית $\displaystyle C$ .

הנקודה $\displaystyle I$ נמצאת במרחקים שווים משלוש הצלעות.

משפט חוצה הזווית

משפט: חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים, שהיחס ביניהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות את הזווית.

\displaystyle \frac{BD}{DC}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{AB}{AC}

נתון: $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר דרך $\displaystyle C$ ישר המקביל ל- $\displaystyle AD$ , עד שהוא פוגש את המשך הצלע $\displaystyle BA$ בנקודה $\displaystyle E$ . נראה ש- $\displaystyle {AE}={AC}$ , ונשתמש בישר המקביל לצלע במשולש $\displaystyle BEC$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle DAC}$	נתון
2	$\displaystyle CE\parallel AD$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle ACE}={\angle DAC}$	(2); זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
4	$\displaystyle {\angle AEC}={\angle BAD}$	(2); זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים
5	$\displaystyle {\angle ACE}={\angle AEC}$	(1), (3), (4)
6	$\displaystyle {AE}={AC}$	(5); מול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
7	$\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{BA}{AE}}$	(2); ישר המקביל לצלע $\displaystyle CE$ במשולש $\displaystyle BEC$ – משולשים דומים
8	$\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$	(6), (7)

תרגיל 2

$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$ , ו- $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$ .

$\displaystyle {AB}={6}$ , $\displaystyle {AC}={9}$ ו- $\displaystyle {BC}={10}$ .
מצאו את $\displaystyle BD$ .
(רמז: $\displaystyle {BD}={x}$ , ואז $\displaystyle {DC}={10-x}$ .)

$\displaystyle {AB}={8}$ , $\displaystyle {BD}={4}$ ו- $\displaystyle {DC}={6}$ .
מצאו את $\displaystyle AC$ .

המשפט ההפוך

משפט הפוך: ישר שעובר דרך קודקוד של משולש ומחלק את הצלע שמולו חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות הוא חוצה הזווית שבקודקוד הזה.

כלומר, אם $\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$ ו- $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$ , אז $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ .

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle {AB}={12}$ ו- $\displaystyle {AC}={8}$ .
הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$ , $\displaystyle {BD}={6}$ ו- $\displaystyle {DC}={4}$ .
האם $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ ?
הסבירו.

תרגיל 4

הוכיחו את משפט חוצה הזווית בדרך שנייה, בעזרת שטחים.
$\displaystyle AH$ הגובה לצלע $\displaystyle BC$ ; $\displaystyle DG\perp AB$ ו- $\displaystyle DF\perp AC$ .

כתבו את השטחים של $\displaystyle ABD$ ושל $\displaystyle ACD$ בעזרת $\displaystyle BD$ , $\displaystyle DC$ והגובה המשותף $\displaystyle AH$ , וחשבו את היחס ביניהם.
כתבו את אותם שטחים בעזרת $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DG$ , ו- $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle DF$ , וחשבו שוב את היחס.
מה ידוע על $\displaystyle DG$ ו- $\displaystyle DF$ , כש- $\displaystyle D$ על חוצה הזווית?
השוו את שני היחסים. מה הוכחתם?

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$