מרחק בין נקודות ואמצע קטע

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

מרחק בין נקודות ואמצע קטע

קטע המקביל לציר

לכל נקודה במערכת הצירים יש שני שיעורים: $\displaystyle x$ – כמה ימינה או שמאלה, ו- $\displaystyle y$ – כמה למעלה או למטה. כשלשתי נקודות יש אותו שיעור, הקטע ביניהן מקביל לאחד הצירים, ואורכו הוא ההפרש בין השיעורים האחרים.

ל- $\displaystyle A(1,3)$ ול- $\displaystyle B(6,3)$ אותו $\displaystyle y$ , ולכן $\displaystyle AB$ מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle {AB}={6-1}={5}$ .
ל- $\displaystyle B(6,3)$ ול- $\displaystyle C(6,-1)$ אותו $\displaystyle x$ , ולכן $\displaystyle BC$ מקביל לציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {BC}={3-(-1)}={4}$ .
מחסרים את הקטן מהגדול, כי אורך אינו שלילי.

המרחק בין שתי נקודות

קטע שאינו מקביל לצירים הוא יתר של משולש ישר זווית, שהניצבים שלו מקבילים לצירים. לכן את אורכו נותן משפט פיתגורס.

בשרטוט, $\displaystyle A(1,1)$ ו- $\displaystyle B(5,4)$ , והנקודה $\displaystyle C(5,1)$ משלימה משולש ישר זווית:

הניצב $\displaystyle AC$ מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle {AC}={5-1}={4}$ – ההפרש בין שיעורי ה- $\displaystyle x$ ;
הניצב $\displaystyle BC$ מקביל לציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {BC}={4-1}={3}$ – ההפרש בין שיעורי ה- $\displaystyle y$ ;
לפי משפט פיתגורס: $\displaystyle {AB}={\sqrt{4^{2}+3^{2}}}={\sqrt{25}}={5}$ .

כך לכל שתי נקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$ : הניצבים הם ההפרשים בין השיעורים, והמרחק הוא

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}

הסדר של הנקודות לא משנה: ההפרש עולה בריבוע, וריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

דוגמה: מרחק שהוא שורש

המרחק בין $\displaystyle P(-2,3)$ ל- $\displaystyle Q(4,-1)$ :

PQ=\sqrt{(4-(-2))^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

$\displaystyle {\sqrt{52}}={\sqrt{4\cdot13}}={2\sqrt{13}}$ : מוציאים את $\displaystyle 4$ מתחת לשורש.
משאירים את התוצאה כשורש. $\displaystyle 7.21$ הוא רק קירוב שלה, ומי שימשיך לחשב איתו יקבל תוצאות לא מדויקות.

תרגיל 1

חשבו את המרחק בין שתי הנקודות.
כתבו את התוצאה בדיוק, בצורה הפשוטה ביותר.

\displaystyle A(2,1)

\displaystyle B(5,5)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle C(-1,4)

\displaystyle D(3,-2)

\displaystyle E(0,-3)

\displaystyle F(-3,0)

אמצע קטע

השיעורים של אמצע הקטע הם הממוצעים של שיעורי הקצוות שלו: ה- $\displaystyle x$ שלו באמצע בין שני ה- $\displaystyle x$ , וה- $\displaystyle y$ שלו באמצע בין שני ה- $\displaystyle y$ .

\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

בשרטוט, אמצע הקטע שבין $\displaystyle A(2,-3)$ ל- $\displaystyle B(8,5)$ :

$\displaystyle {x_M}={\frac{2+8}{2}}={5}$ ;
$\displaystyle {y_M}={\frac{-3+5}{2}}={1}$ ;
לכן $\displaystyle M(5,1)$ . בדיקה: מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle M$ עולים $\displaystyle 3$ ימינה ו- $\displaystyle 4$ למעלה, וגם מ- $\displaystyle M$ ל- $\displaystyle B$ .

תרגיל 2

מצאו את אמצע הקטע.

\displaystyle A(-3,5)

\displaystyle B(7,1)

\displaystyle x_M

\displaystyle y_M

\displaystyle C(-4,-6)

\displaystyle D(1,0)

\displaystyle x_M

\displaystyle y_M

קצה של קטע מתוך האמצע

כשידועים קצה אחד ואמצע הקטע, מוצאים את הקצה השני במשוואה: הנוסחה של האמצע, והשיעור החסר בה הוא הנעלם.

דוגמה: $\displaystyle M(3,1)$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle A(-1,4)$ .

$\displaystyle {\frac{-1+x}{2}}={3}$ , ולכן $\displaystyle {-1+x}={6}$ ו- $\displaystyle {x}={7}$ ;
$\displaystyle {\frac{4+y}{2}}={1}$ , ולכן $\displaystyle {4+y}={2}$ ו- $\displaystyle {y}={-2}$ ;
$\displaystyle B(7,-2)$ .

תרגיל 3

הנקודה $\displaystyle M(2,-1)$ היא אמצע הקטע $\displaystyle PQ$ .
$\displaystyle P(5,3)$ .
מצאו את שיעורי הנקודה $\displaystyle Q$ .

\displaystyle x_Q

\displaystyle y_Q

תרגיל 4

קודקודי המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(1,1)$ , $\displaystyle B(5,3)$ ו- $\displaystyle C(3,7)$ .

חשבו את אורכי הצלעות.

\displaystyle AB

\displaystyle BC

\displaystyle AC

איזה משולש הוא $\displaystyle ABC$ ?
הסבירו בעזרת האורכים שמצאתם.

תרגיל 5

$\displaystyle ABCD$ מקבילית.
שלושה מקודקודיה הם $\displaystyle A(-4,-3)$ , $\displaystyle B(-1,2)$ ו- $\displaystyle C(5,4)$ .
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן לאלכסונים $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle BD$ יש אותו אמצע.

מצאו את שיעורי הקודקוד $\displaystyle D$ .

\displaystyle x_D

\displaystyle y_D

חשבו את אורכי הצלעות $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle BC$ .

\displaystyle AB

\displaystyle BC

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$