התיכונים ומפגש התיכונים

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

התיכונים ומפגש התיכונים

תיכונים במשולש

תיכון במשולש הוא קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו. לכל משולש שלושה תיכונים, ומכיתה ח’ ידוע:

שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת – מפגש התיכונים, $\displaystyle G$ (מרכז הכובד של המשולש);
במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר (כיתה ט’).

המשפט החדש אומר איפה על כל תיכון נמצאת $\displaystyle G$ :

משפט: מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס $\displaystyle 2:1$ – החלק הקרוב לקודקוד פי $\displaystyle 2$ מהחלק האחר.

\displaystyle AG

\displaystyle =

\displaystyle 2GD

הוכחת היחס 2:1

נתון: $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle CF$ תיכונים במשולש $\displaystyle ABC$ , והם נחתכים בנקודה $\displaystyle G$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {BG}={2GE}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את קטע האמצעים $\displaystyle FE$ , ונראה שהוא יוצר עם התיכונים משולש $\displaystyle GFE$ שדומה למשולש $\displaystyle GCB$ ביחס $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {FE}={\frac{1}{2}BC}$	$\displaystyle F$ , $\displaystyle E$ אמצעי $\displaystyle AB$ , $\displaystyle AC$ ; קטע אמצעים במשולש
2	$\displaystyle FE\parallel BC$	קטע אמצעים במשולש
3	$\displaystyle {\angle GFE}={\angle GCB}$	(2); זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
4	$\displaystyle {\angle GEF}={\angle GBC}$	(2); זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
5	$\displaystyle \triangle GFE\sim\triangle GCB$	(3), (4); משפט הדמיון ז.ז
6	$\displaystyle {GE}={\frac{1}{2}GB}$	(1), (5); יחס הדמיון $\displaystyle {\frac{FE}{BC}}={\frac{1}{2}}$
7	$\displaystyle {BG}={2GE}$	(6)

באותה הוכחה גם $\displaystyle {CG}={2GF}$ . התיכון השלישי, מ- $\displaystyle A$ , חותך את $\displaystyle BE$ בנקודה שמחלקת אותו ביחס $\displaystyle 2:1$ – וזו אותה נקודה $\displaystyle G$ . כך מתקבל גם ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת.

תרגיל 1

$\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle BE$ תיכונים במשולש $\displaystyle ABC$ , והם נחתכים בנקודה $\displaystyle G$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AG}={2GD}$ .
(רמז: קטע האמצעים $\displaystyle DE$ .)

תרגיל 2

$\displaystyle G$ מפגש התיכונים במשולש $\displaystyle ABC$ .
$\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle BE$ תיכונים.

\displaystyle {AD}={12}

; חשבו את

\displaystyle AG

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle {GE}={5}

; חשבו את

\displaystyle BE

התיכון ושטח המשולש

התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש $\displaystyle ABC$ לשני משולשים, $\displaystyle ABD$ ו- $\displaystyle ACD$ , שווי שטח:

הבסיסים שלהם שווים: $\displaystyle {BD}={DC}$ ;
הגובה מ- $\displaystyle A$ משותף לשניהם.

\displaystyle S_{ABD}

\displaystyle =

\displaystyle S_{ACD}

תרגיל 3

שטח המשולש $\displaystyle ABC$ הוא $\displaystyle 36$ .
$\displaystyle AD$ תיכון, ו- $\displaystyle G$ מפגש התיכונים.

שטח המשולש

\displaystyle ABD

שטח המשולש

\displaystyle GBD

(רמז:

\displaystyle {GD}={\frac{1}{3}AD}

)

מפגש התיכונים במערכת צירים

$\displaystyle G$ על התיכון $\displaystyle AD$ , בשני שלישים מהדרך מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle D$ . כשמחשבים את השיעורים שלה מתקבל הממוצע של שלושת הקודקודים:

\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

דוגמה: $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(6,0)$ , $\displaystyle C(3,9)$ .

$\displaystyle {G\left(\frac{0+6+3}{3},\frac{0+0+9}{3}\right)}={G(3,3)}$ ;
בדיקה: $\displaystyle D$ , אמצע $\displaystyle BC$ , הוא $\displaystyle (4.5,4.5)$ ; מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle D$ עולים $\displaystyle 4.5$ ימינה ו- $\displaystyle 4.5$ למעלה, ושני שלישים מזה – $\displaystyle 3$ ו- $\displaystyle 3$ .

תרגיל 4

קודקודי המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(1,1)$ , $\displaystyle B(7,3)$ ו- $\displaystyle C(4,8)$ .

כתבו בלוח את משוואת התיכון מ- $\displaystyle A$ ואת משוואת התיכון מ- $\displaystyle B$ .

\displaystyle A=(1,1)

\displaystyle B=(7,3)

\displaystyle C=(4,8)

מצאו את נקודת החיתוך של שני התיכונים.

חשבו את $\displaystyle G$ לפי הנוסחה, והשוו.

\displaystyle x_G

\displaystyle y_G

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$