קטע אמצעים במשולש ובטרפז

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

קטע אמצעים במשולש ובטרפז

קטע אמצעים במשולש

קטע אמצעים במשולש הוא קטע שמחבר את האמצעים של שתי צלעות.

משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

\displaystyle DE

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}BC

הוכחת המשפט

נתון: $\displaystyle D$ אמצע הצלע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle E$ אמצע הצלע $\displaystyle AC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {DE}={\frac{1}{2}BC}$ ו- $\displaystyle DE\parallel BC$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולש $\displaystyle ADE$ דומה למשולש $\displaystyle ABC$ ביחס $\displaystyle \frac{1}{2}$ (צ.ז.צ), ומהדמיון נסיק את האורך ואת ההקבלה.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AD}={\frac{1}{2}AB}$	נתון ( $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$ )
2	$\displaystyle {AE}={\frac{1}{2}AC}$	נתון ( $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ )
3	$\displaystyle {\angle DAE}={\angle BAC}$	זווית משותפת
4	$\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC$	(1), (2), (3); משפט הדמיון צ.ז.צ, ביחס $\displaystyle \frac{1}{2}$
5	$\displaystyle {DE}={\frac{1}{2}BC}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים דומים
6	$\displaystyle {\angle ADE}={\angle ABC}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים דומים
7	$\displaystyle DE\parallel BC$	(6); זוויות מתאימות שוות – הישרים מקבילים

המשפטים ההפוכים

שני משפטים מזהים קטע אמצעים:

ישר שעובר דרך אמצע של צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית;
קטע שקצותיו על שתי צלעות של משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה, הוא קטע אמצעים.

שניהם נובעים מקטע המקביל לצלע: הוא חותך משולש דומה, ויחס הדמיון קובע איפה הקצוות שלו.

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ , הנקודה $\displaystyle D$ אמצע הצלע $\displaystyle AB$ .
הנקודה $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle DE\parallel BC$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AE}={EC}$ .
(רמז: $\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC$ .)

תרגיל 2

אורכי הצלעות של משולש הם $\displaystyle 8$ , $\displaystyle 10$ ו- $\displaystyle 12$ .
שלושת קטעי האמצעים שלו יוצרים משולש קטן.
חשבו את ההיקף של המשולש הקטן.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

קטע אמצעים בטרפז

קטע האמצעים בטרפז מחבר את האמצעים של שתי השוקיים.

משפט: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

\displaystyle EF

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a+b}{2}

נתון: $\displaystyle ABCD$ טרפז, $\displaystyle BC\parallel AD$ ; $\displaystyle E$ אמצע השוק $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle F$ אמצע השוק $\displaystyle CD$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {EF}={\frac{1}{2}(AD+BC)}$ .

בהוכחה שלפניכם ניקח את $\displaystyle G$ , אמצע האלכסון $\displaystyle AC$ , ונמצא שני קטעי אמצעים: $\displaystyle EG$ במשולש $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle GF$ במשולש $\displaystyle ACD$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AB$	נתון
2	$\displaystyle G$ אמצע $\displaystyle AC$	בנייה
3	$\displaystyle {EG}={\frac{1}{2}BC}$	(1), (2); קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ABC$
4	$\displaystyle EG\parallel BC$	(1), (2); קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ABC$
5	$\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle CD$	נתון
6	$\displaystyle {GF}={\frac{1}{2}AD}$	(2), (5); קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ACD$
7	$\displaystyle GF\parallel AD$	(2), (5); קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ACD$
8	$\displaystyle {EF}={EG+GF}$	(4), (7), $\displaystyle BC\parallel AD$ ; דרך $\displaystyle G$ עובר רק ישר אחד המקביל ל- $\displaystyle AD$ , ולכן $\displaystyle E$ , $\displaystyle G$ , $\displaystyle F$ על ישר אחד
9	$\displaystyle {EF}={\frac{1}{2}(AD+BC)}$	(3), (6), (8)

תרגיל 3

חשבו.

אורכי הבסיסים של טרפז הם $\displaystyle 7$ ו- $\displaystyle 13$ .
מה אורך קטע האמצעים?

אורך קטע האמצעים של טרפז הוא $\displaystyle 9$ , ואורך אחד הבסיסים $\displaystyle 5$ .
מה אורך הבסיס השני?

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ מרובע כלשהו.
$\displaystyle E$ , $\displaystyle F$ , $\displaystyle G$ ו- $\displaystyle H$ אמצעי הצלעות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle BC$ , $\displaystyle CD$ ו- $\displaystyle DA$ .
הוכיחו: $\displaystyle EFGH$ מקבילית.
(רמז: העבירו את האלכסון $\displaystyle AC$ .)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$