דלג לתוכן

סינוס של זווית קהה ושטח משולש

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

סינוס של זווית קהה ושטח משולש

הסינוס של זווית קהה

לזווית קהה אין משולש ישר זווית שהיא אחת מזוויותיו החדות, ולכן ההגדרה של הסינוס כיחס צלעות לא מתאימה לה. את הסינוס שלה מגדירים בעזרת הזווית הצמודה לה, 180∘−α\displaystyle 180^{\circ}-\alpha, שהיא חדה:

sin⁡(180∘−α)\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
  • sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\displaystyle {\sin120^{\circ}}={\sin60^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{2}};
  • sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\displaystyle {\sin150^{\circ}}={\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}};
  • גם המחשבון נותן כך: sin⁡100∘=sin⁡80∘≈0.98\displaystyle {\sin100^{\circ}}={\sin80^{\circ}\approx0.98}.

ההגדרה מתאימה גם לזווית ישרה: sin⁡(180∘−90∘)=sin⁡90∘=1\displaystyle {\sin(180^{\circ}-90^{\circ})}={\sin90^{\circ}}={1}.

תרגיל 1

חשבו בדיוק.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        שתי זוויות עם אותו סינוס

        לכל מספר בין 0\displaystyle 0 ל-1\displaystyle 1 יש שתי זוויות בין 0∘\displaystyle 0^{\circ} ל-180∘\displaystyle 180^{\circ} שזה הסינוס שלהן: זווית חדה α\displaystyle \alpha, והזווית הקהה 180∘−α\displaystyle 180^{\circ}-\alpha.

        • sin⁡γ=12\displaystyle {\sin\gamma}={\frac{1}{2}}: γ=30∘\displaystyle {\gamma}={30^{\circ}} או γ=150∘\displaystyle {\gamma}={150^{\circ}};
        • המחשבון נותן ב-sin⁡−1\displaystyle \sin^{-1} רק את החדה, ואת הקהה מחשבים: 180∘−30∘\displaystyle 180^{\circ}-30^{\circ};
        • במשולש שתיהן אפשריות, עד שנתון אחר קובע איזו מהן.
        שטח משולש לפי שתי צלעות וזווית

        שטח משולש הוא מחצית מכפלת צלע בגובה לצלע הזו. כשידועות שתי צלעות a\displaystyle a, b\displaystyle b והזווית γ\displaystyle \gamma שביניהן, את הגובה נותן הסינוס:

        S\displaystyle S =\displaystyle = 12absin⁡γ\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma
        • γ\displaystyle \gamma חדה: במשולש ישר הזווית שהגובה יוצר, h\displaystyle h הניצב מול γ\displaystyle \gamma ו-b\displaystyle b היתר, ולכן h=bsin⁡γ\displaystyle {h}={b\sin\gamma};
        • S=12a⋅h=12absin⁡γ\displaystyle {S}={\frac{1}{2}a\cdot h}={\frac{1}{2}ab\sin\gamma}.
        • γ\displaystyle \gamma קהה: הגובה נופל מחוץ למשולש, על המשך הצלע a\displaystyle a, ובמשולש ישר הזווית שהוא יוצר הזווית שמול h\displaystyle h היא 180∘−γ\displaystyle 180^{\circ}-\gamma;
        • h=bsin⁡(180∘−γ)=bsin⁡γ\displaystyle {h}={b\sin(180^{\circ}-\gamma)}={b\sin\gamma} – אותה נוסחה בדיוק.
        דוגמה: שטח עם זווית קהה

        במשולש שתי צלעות באורכים 6\displaystyle 6 ו-10\displaystyle 10, והזווית שביניהן 150∘\displaystyle 150^{\circ}:

        S=12⋅6⋅10⋅sin⁡150∘=30⋅12=15S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\sin150^{\circ}=30\cdot\frac{1}{2}=15
        תרגיל 2

        חשבו את שטח המשולש לפי שתי הצלעות והזווית שביניהן.
        תוצאה מדויקת כשאפשר; אחרת – עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        א
        6\displaystyle 6, 8\displaystyle 8, 60∘\displaystyle 60^{\circ}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          5\displaystyle 5, 4\displaystyle 4, 120∘\displaystyle 120^{\circ}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            7\displaystyle 7, 9\displaystyle 9, 50∘\displaystyle 50^{\circ}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              שטח משולש הוא 15\displaystyle 15, ושתיים מצלעותיו באורכים 6\displaystyle 6 ו-10\displaystyle 10.
              חשבו את הסינוס של הזווית שבין שתי הצלעות.
              מה יכולה להיות הזווית? מצאו את שתי האפשרויות.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                הזווית החדה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  הזווית הקהה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    במקבילית ABCD\displaystyle ABCD, AB=6\displaystyle {AB}={6}, AD=3.5\displaystyle {AD}={3.5}, ו-∠DAB=45∘\displaystyle {\angle DAB}={45^{\circ}}.
                    חשבו בדיוק את שטח המקבילית.
                    (רמז: האלכסון BD\displaystyle BD מחלק אותה לשני משולשים חופפים.)

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה