ישרים מקבילים, ישרים מאונכים ונקודות חיתוך

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20לימוד

ישרים מקבילים, ישרים מאונכים ונקודות חיתוך

החיתוך עם הצירים

כל נקודה על ציר ה- $\displaystyle x$ היא מהצורה $\displaystyle (x,0)$ , וכל נקודה על ציר ה- $\displaystyle y$ מהצורה $\displaystyle (0,y)$ . לכן:

החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ : מציבים $\displaystyle {y}={0}$ במשוואת הישר;
החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ : מציבים $\displaystyle {x}={0}$ .

דוגמה: הישר $\displaystyle {2x-3y}={12}$ .

$\displaystyle {y}={0}$ : $\displaystyle {2x}={12}$ , ולכן $\displaystyle {x}={6}$ – הנקודה $\displaystyle A(6,0)$ ;
$\displaystyle {x}={0}$ : $\displaystyle {-3y}={12}$ , ולכן $\displaystyle {y}={-4}$ – הנקודה $\displaystyle B(0,-4)$ .

\displaystyle 2x-3y=12

\displaystyle A=(6,0)

\displaystyle B=(0,-4)

תרגיל 1

סמנו את הנקודות שבהן הישר $\displaystyle {y}={-\frac{3}{4}x+3}$ חותך את הצירים.

\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+3

שני ישרים במישור

שני ישרים שיש להם שיפוע נמצאים באחד משלושה מצבים, ואת המצב קובעים השיפועים ונקודות החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ :

מתלכדים – אותו שיפוע ואותו $\displaystyle b$ : זה אותו ישר, כתוב פעמיים. למשל $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו- $\displaystyle {4x-2y+2}={0}$ ;
מקבילים – אותו שיפוע, $\displaystyle b$ שונה: הישרים לא נפגשים. למשל $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו- $\displaystyle {y}={2x-3}$ ;
נחתכים – שיפועים שונים: יש לישרים נקודה משותפת אחת.

ישרים מקבילים או מתלכדים – באותו שיפוע:

\displaystyle m_1

\displaystyle =

\displaystyle m_2

ישרים מאונכים

שני ישרים מאונכים כשמכפלת השיפועים שלהם היא $\displaystyle -1$ :

\displaystyle m_1\cdot m_2

\displaystyle =

\displaystyle -1

\displaystyle y=2x

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x

\displaystyle A=(1,2)

\displaystyle B=(-2,1)

הסיבה רואים בשרטוט: מסובבים את הישר $\displaystyle {y}={2x}$ ברבע סיבוב סביב ראשית הצירים.

הצעד מ- $\displaystyle (0,0)$ ל- $\displaystyle A(1,2)$ : $\displaystyle 1$ ימינה ו- $\displaystyle 2$ למעלה;
אחרי רבע סיבוב הוא נהיה הצעד מ- $\displaystyle (0,0)$ ל- $\displaystyle B(-2,1)$ : $\displaystyle 2$ שמאלה ו- $\displaystyle 1$ למעלה;
השיפוע של הישר המסובב: $\displaystyle {\frac{1}{-2}}={-\frac{1}{2}}$ , ו- $\displaystyle {2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={-1}$ .

כך גם בכל שיפוע $\displaystyle m$ : הצעד $\displaystyle (1,m)$ נהיה $\displaystyle (-m,1)$ , והשיפוע $\displaystyle -\frac{1}{m}$ . ישר המקביל לציר ה- $\displaystyle x$ מאונך לישר המקביל לציר ה- $\displaystyle y$ – לשני אין שיפוע.

תרגיל 2

מה המצב ההדדי של שני הישרים: מתלכדים, מקבילים, מאונכים, או נחתכים בלי להיות מאונכים?

$\displaystyle {y}={3x+1}$ ו- $\displaystyle {y}={3x-4}$
$\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+3}$ ו- $\displaystyle {y}={2x-1}$
$\displaystyle {y}={4x}$ ו- $\displaystyle {y}={-4x+1}$
$\displaystyle {x-y+2}={0}$ ו- $\displaystyle {y}={x+2}$

תרגיל 3

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P(2,5)$ ומקביל לישר $\displaystyle {y}={3x-4}$ .

\displaystyle y=3x-4

\displaystyle P=(2,5)

תרגיל 4

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P(4,1)$ ומאונך לישר $\displaystyle {y}={2x+3}$ .

\displaystyle y=2x+3

\displaystyle P=(4,1)

נקודת החיתוך של שני ישרים

נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן השיעורים שלה מקיימים את שתי המשוואות: היא הפתרון של מערכת המשוואות.

דוגמה: $\displaystyle {y}={2x-1}$ ו- $\displaystyle {y}={-x+5}$ .

$\displaystyle {2x-1}={-x+5}$ , ולכן $\displaystyle {3x}={6}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ ;
$\displaystyle {y}={2\cdot2-1}={3}$ ;
הישרים נחתכים ב- $\displaystyle M(2,3)$ .

לישרים מקבילים אין נקודה משותפת, ולמערכת שלהם אין פתרון.

\displaystyle y=2x-1

\displaystyle y=-x+5

\displaystyle M=(2,3)

תרגיל 5

נתונים הישרים $\displaystyle {y}={2x-3}$ ו- $\displaystyle {x+y}={6}$ .

סמנו בלוח את נקודת החיתוך של שני הישרים.

\displaystyle y=2x-3

\displaystyle y=-x+6

תרגיל 6

קודקודי המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(4,2)$ ו- $\displaystyle C(3,4)$ .

חשבו את השיפועים של $\displaystyle AB$ ושל $\displaystyle BC$ .

\displaystyle m_{AB}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle m_{BC}

האם המשולש $\displaystyle ABC$ ישר זווית?
אם כן – באיזה קודקוד הזווית הישרה?
הסבירו.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$