אנכים אמצעיים וגבהים

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 18 מתוך 20לימוד

אנכים אמצעיים וגבהים

האנך האמצעי כמקום גאומטרי

אנך אמצעי לקטע הוא הישר שעובר דרך אמצע הקטע ומאונך לו.

משפט: האנך האמצעי הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע.

נתון: $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle PM\perp AB$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {PA}={PB}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle PMA$ ו- $\displaystyle PMB$ חופפים (צ.ז.צ).

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AM}={MB}$	נתון ( $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle AB$ )
2	$\displaystyle {\angle PMA}={\angle PMB}$	$\displaystyle PM\perp AB$ – שתי הזוויות ישרות
3	$\displaystyle {PM}={PM}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle PMA\cong\triangle PMB$	(1), (2), (3); משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {PA}={PB}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים

גם הכיוון ההפוך נכון: נקודה שנמצאת במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ היא קודקוד של משולש שווה שוקיים שבסיסו $\displaystyle AB$ , והתיכון לבסיס במשולש כזה הוא גם גובה – לכן היא על האנך האמצעי.

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle MP$ האנך האמצעי לצלע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle NQ$ האנך האמצעי לצלע $\displaystyle AC$ .
שני האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
הוכיחו: $\displaystyle {OB}={OC}$ – כלומר, $\displaystyle O$ גם על האנך האמצעי לצלע $\displaystyle BC$ .

מפגש האנכים האמצעיים

משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת, $\displaystyle O$ , שנמצאת במרחקים שווים משלושת הקודקודים (תרגיל 1).

איפה $\displaystyle O$ נמצאת:

במשולש חד זווית – בתוך המשולש;
במשולש ישר זווית – באמצע היתר: התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר במרחקים שווים משלושת הקודקודים;
במשולש קהה זווית – מחוץ למשולש.

אנך אמצעי במערכת צירים

את משוואת האנך האמצעי לקטע $\displaystyle AB$ מוצאים בשני צעדים: הנקודה – אמצע הקטע; השיפוע – מכפלתו בשיפוע $\displaystyle AB$ היא $\displaystyle -1$ .

דוגמה: $\displaystyle A(1,2)$ ו- $\displaystyle B(5,4)$ .

האמצע: $\displaystyle M(3,3)$ ;
$\displaystyle {m_{AB}}={\frac{4-2}{5-1}}={\frac{1}{2}}$ , ולכן שיפוע האנך האמצעי $\displaystyle -2$ ;
$\displaystyle {y-3}={-2(x-3)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={-2x+9}$ .

תרגיל 2

קודקודי המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(8,0)$ ו- $\displaystyle C(2,6)$ .
בלוח מצויר האנך האמצעי לצלע $\displaystyle AB$ : $\displaystyle {x}={4}$ .

כתבו בלוח את משוואת האנך האמצעי לצלע $\displaystyle AC$ .

\displaystyle x=4

\displaystyle A=(0,0)

\displaystyle B=(8,0)

\displaystyle C=(2,6)

מצאו את נקודת המפגש $\displaystyle O$ של שני האנכים האמצעיים.

חשבו את המרחקים של $\displaystyle O$ משלושת הקודקודים.
מה קיבלתם?

\displaystyle OA

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle OB

\displaystyle OC

מפגש הגבהים

משפט: שלושת הגבהים במשולש, או הישרים שמכילים אותם, נחתכים בנקודה אחת, $\displaystyle H$ .

במשולש חד זווית שלושת הגבהים בתוך המשולש, וגם $\displaystyle H$ :

במשולש קהה זווית שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות, ו- $\displaystyle H$ מחוץ למשולש – נפגשים המשכי הגבהים:

במשולש ישר זווית כל ניצב הוא גם גובה לניצב השני, ולכן $\displaystyle H$ הוא קודקוד הזווית הישרה.

תרגיל 3

במשולש של תרגיל 2: $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(8,0)$ ו- $\displaystyle C(2,6)$ .
הגובה מ- $\displaystyle C$ לצלע $\displaystyle AB$ הוא על הישר $\displaystyle {x}={2}$ .

כתבו בלוח את משוואות הישרים שמכילים את הגובה מ- $\displaystyle A$ ואת הגובה מ- $\displaystyle B$ .
(רמז: $\displaystyle {m_{BC}}={-1}$ ו- $\displaystyle {m_{AC}}={3}$ .)

\displaystyle A=(0,0)

\displaystyle B=(8,0)

\displaystyle C=(2,6)

מצאו את נקודת החיתוך $\displaystyle H$ של שני הגבהים.

הראו ש- $\displaystyle H$ נמצאת גם על הגובה מ- $\displaystyle C$ .
האם $\displaystyle H$ בתוך המשולש? מה זה אומר על זוויות המשולש?

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$