תרגול: נקודות, קטעים וישרים

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20תרגול

תרגול: נקודות, קטעים וישרים

קודקודי המרובע $\displaystyle ABCD$ הם $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(1,2)$ , $\displaystyle C(7,3)$ ו- $\displaystyle D(6,1)$ .

הוכיחו בשתי דרכים ש- $\displaystyle ABCD$ מקבילית.
(רמז: השיפועים של הצלעות הנגדיות; האמצעים של האלכסונים.)

חשבו את אורכי הצלעות ואת אורכי האלכסונים.

\displaystyle AB

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle BC

\displaystyle AC

\displaystyle BD

מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים.

\displaystyle x

\displaystyle y

שניים מקודקודי המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle B(20,11)$ ו- $\displaystyle C(8,-5)$ .
משוואת הצלע $\displaystyle AB$ היא $\displaystyle {y}={\frac{2}{5}x+3}$ .
משוואת הצלע $\displaystyle AC$ היא $\displaystyle {y}={6x-53}$ .

מצאו את שיעורי הקודקוד $\displaystyle A$ .

$\displaystyle D$ אמצע הצלע $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle E$ אמצע הצלע $\displaystyle AB$ .
מצאו את שיעורי הנקודות $\displaystyle D$ ו- $\displaystyle E$ .

חשבו את אורך הקטע $\displaystyle DE$ .

הראו שהקטע $\displaystyle DE$ מקביל לצלע $\displaystyle BC$ ושווה למחציתה.

$\displaystyle ABCD$ מלבן.
קודקודיו $\displaystyle A(-5,-5)$ , $\displaystyle B(-6,-1)$ , $\displaystyle C(2,1)$ ו- $\displaystyle D(3,-3)$ .

\displaystyle A=(-5,-5)

\displaystyle B=(-6,-1)

\displaystyle C=(2,1)

\displaystyle D=(3,-3)

חשבו את ההיקף ואת השטח של המלבן.

ההיקף

השטח

כתבו בלוח את משוואת האלכסון $\displaystyle AC$ .

מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים.
הראו שהיא נמצאת גם על האלכסון $\displaystyle BD$ .

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P(-1,3)$ ומאונך לישר $\displaystyle {3x+y}={5}$ .

\displaystyle 3x+y=5

\displaystyle P=(-1,3)

הישר שעובר דרך הנקודות $\displaystyle (2,k)$ ו- $\displaystyle (4,7)$ שיפועו $\displaystyle 3$ .
מצאו את $\displaystyle k$ .

הנקודה $\displaystyle P$ נמצאת על ציר ה- $\displaystyle x$ , במרחקים שווים מהנקודות $\displaystyle A(1,3)$ ו- $\displaystyle B(5,1)$ .
מצאו את שיעור ה- $\displaystyle x$ של $\displaystyle P$ .
(רמז: $\displaystyle P(x,0)$ , ו- $\displaystyle {PA^{2}}={PB^{2}}$ .)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$