תרגול: דמיון משולשים וקטעי אמצעים

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20תרגול

תרגול: דמיון משולשים וקטעי אמצעים

משולש $\displaystyle ABC$ שווה שוקיים: $\displaystyle {AC}={BC}={15}$ .
הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AC$ והנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle BC$ , כך ש- $\displaystyle {CD}={\frac{1}{3}AC}$ ו- $\displaystyle {CE}={\frac{1}{3}BC}$ .
$\displaystyle {DE}={6}$ .
חשבו את שטח הטרפז $\displaystyle ADEB$ , בשלבים.

\displaystyle AB

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

הגובה מ-

\displaystyle C

לבסיס

\displaystyle AB

שטח הטרפז

\displaystyle ADEB

קודקודי המקבילית $\displaystyle ABCD$ הם $\displaystyle A(4,-2)$ , $\displaystyle B(10,0)$ , $\displaystyle C(9,3)$ ו- $\displaystyle D(3,1)$ .
מאריכים את הצלע $\displaystyle BC$ כאורכה, עד הנקודה $\displaystyle E(8,6)$ : $\displaystyle {BC}={CE}$ .
הקטע $\displaystyle AE$ חותך את הצלע $\displaystyle CD$ בנקודה $\displaystyle F$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle EFC\sim\triangle EAB$ .

מה יחס הדמיון?
חשבו את אורך הקטע $\displaystyle FC$ .

מצאו את שיעורי הנקודה $\displaystyle F$ .
הסבירו.

$\displaystyle ABCD$ טרפז, $\displaystyle BC\parallel AD$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle AOD\sim\triangle COB$ .

$\displaystyle {AD}={12}$ , $\displaystyle {BC}={4}$ ו- $\displaystyle {AO}={9}$ .
חשבו את $\displaystyle OC$ .

שני משולשים דומים.
חוצי זוויות מתאימים בהם הם $\displaystyle 4$ ו- $\displaystyle 10$ .
שטח המשולש הקטן $\displaystyle 12$ .
מה שטח המשולש הגדול?

שטח המשולש $\displaystyle ABC$ הוא $\displaystyle 40$ .
$\displaystyle DE$ קטע אמצעים: $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ .
מה שטח הטרפז $\displaystyle DBCE$ ?

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה, ו- $\displaystyle CD$ הגובה ליתר.
$\displaystyle {AD}={4}$ ו- $\displaystyle {DB}={9}$ .
(רמז: $\displaystyle \triangle ADC\sim\triangle CDB$ , ו- $\displaystyle \triangle ADC\sim\triangle ACB$ .)

\displaystyle CD

\displaystyle AC

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$