חישובים במשולש ישר זווית

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 11 מתוך 20לימוד

חישובים במשולש ישר זווית

חישוב צלע

כשידועות זווית חדה וצלע אחת, בוחרים את הפונקציה שקושרת את הצלע הידועה לצלע המבוקשת – לפי מקומן ליד הזווית.

דוגמה: במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה, $\displaystyle {\angle A}={30^{\circ}}$ , והיתר $\displaystyle {AB}={12}$ .

$\displaystyle BC$ הניצב מול $\displaystyle A$ , ו- $\displaystyle AB$ היתר – הסינוס: $\displaystyle {BC}={12\cdot\sin30^{\circ}}={12\cdot\frac{1}{2}}={6}$ ;
$\displaystyle AC$ הניצב ליד $\displaystyle A$ – הקוסינוס: $\displaystyle {AC}={12\cdot\cos30^{\circ}}={12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}={6\sqrt{3}}$ ;
בדיקה בפיתגורס: $\displaystyle {6^{2}+(6\sqrt{3})^{2}}={36+108}={144}={12^{2}}$ .

ב- $\displaystyle BC$ אפשר להשתמש גם בתכונה מכיתה ט’: הניצב מול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר.

חישוב זווית

כשידועות שתי צלעות, היחס ביניהן הוא סינוס, קוסינוס או טנגנס של הזווית, והמחשבון נותן את הזווית.

דוגמה: הניצבים $\displaystyle 3$ ו- $\displaystyle 4$ . הזווית $\displaystyle \alpha$ מול הניצב $\displaystyle 3$ :

\tan\alpha=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\tan^{-1}\frac{3}{4}\approx36.87^{\circ}

והזווית השנייה: $\displaystyle {90^{\circ}-36.87^{\circ}}={53.13^{\circ}}$ .

מתי מעגלים

בזוויות $\displaystyle 30^{\circ}$ , $\displaystyle 45^{\circ}$ , $\displaystyle 60^{\circ}$ התוצאה מדויקת: $\displaystyle 6\sqrt{3}$ , ולא $\displaystyle 10.39$ .
בזווית אחרת כותבים את הביטוי המדויק, $\displaystyle 12\sin40^{\circ}$ , ומעגלים רק בשורה האחרונה: $\displaystyle \approx7.71$ .
מספר מעוגל שממשיכים לחשב איתו מוסיף טעות בכל צעד.
כל צעד מקבל נימוק: איזו פונקציה, איזה משפט, איזו תכונה של המשולש.

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה, $\displaystyle {\angle B}={60^{\circ}}$ , ו- $\displaystyle {AB}={12}$ .
חשבו בדיוק.

\displaystyle AC

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle BC

שטח המשולש

תרגיל 2

אורכי הניצבים של משולש ישר זווית הם $\displaystyle 5$ ו- $\displaystyle 12$ .

הזווית מול הניצב

\displaystyle 5

, בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה

היתר

תרגיל 3

במשולש ישר זווית אחת הזוויות $\displaystyle 45^{\circ}$ , ואורך היתר $\displaystyle 8$ .
חשבו בדיוק.

אורך ניצב

ההיקף

השטח

תרגיל 4

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה, ו- $\displaystyle CM$ התיכון ליתר.
$\displaystyle {CM}={5}$ ו- $\displaystyle {\angle B}={30^{\circ}}$ .
חשבו בדיוק, ונמקו כל צעד.

\displaystyle AB

\displaystyle BC

שטח המשולש

תרגיל 5

סולם באורך $\displaystyle 6$ מ’ נשען על קיר.
הזווית בין הסולם לרצפה $\displaystyle 70^{\circ}$ .
לאיזה גובה מגיע הסולם על הקיר?
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$