צורות שמתפרקות למשולשים ישרי זווית

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 13 מתוך 20לימוד

צורות שמתפרקות למשולשים ישרי זווית

טרפז שווה שוקיים

שני הגבהים מקצות הבסיס הקטן מפרקים טרפז שווה שוקיים למלבן ולשני משולשים ישרי זווית חופפים.

דוגמה: בטרפז שווה השוקיים $\displaystyle ABCD$ הבסיסים $\displaystyle {BC}={4}$ ו- $\displaystyle {AD}={10}$ , והשוקיים באורך $\displaystyle 5$ .

$\displaystyle BCFE$ מלבן, ולכן $\displaystyle {EF}={BC}={4}$ ; המשולשים $\displaystyle ABE$ ו- $\displaystyle DCF$ חופפים, ולכן $\displaystyle {AE}={FD}={\frac{10-4}{2}}={3}$ ;
הגובה, לפי משפט פיתגורס במשולש $\displaystyle ABE$ : $\displaystyle {BE}={\sqrt{5^{2}-3^{2}}}={4}$ ;
זווית הבסיס: $\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{3}{5}}$ , ולכן $\displaystyle {\alpha}={\cos^{-1}\frac{3}{5}\approx53.13^{\circ}}$ ;
השטח: $\displaystyle {\frac{4+10}{2}\cdot4}={28}$ .

מעוין

האלכסונים של מעוין מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה וחוצים את זוויותיו. לכן הם מפרקים אותו לארבעה משולשים ישרי זווית חופפים.

דוגמה: צלע המעוין $\displaystyle ABCD$ באורך $\displaystyle 6$ , ו- $\displaystyle {\angle DAB}={60^{\circ}}$ .

במשולש $\displaystyle AOB$ הזווית $\displaystyle O$ ישרה, ו- $\displaystyle {\angle OAB}={30^{\circ}}$ – האלכסון חוצה את הזווית;
$\displaystyle {BO}={6\sin30^{\circ}}={3}$ , ולכן $\displaystyle {BD}={6}$ ;
$\displaystyle {AO}={6\cos30^{\circ}}={3\sqrt{3}}$ , ולכן $\displaystyle {AC}={6\sqrt{3}}$ ;
השטח, מחצית מכפלת האלכסונים: $\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{3}}={18\sqrt{3}}$ .

תרגיל 1

$\displaystyle ABCD$ מלבן, ו- $\displaystyle F$ אמצע הצלע $\displaystyle AB$ .
הישר $\displaystyle DF$ חותך את המשך הצלע $\displaystyle CB$ בנקודה $\displaystyle E$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle AFD\cong\triangle BFE$ .

נתון גם: $\displaystyle {EC}={9}$ ו- $\displaystyle {\angle AFD}={40^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle BC$ ואת שטח המלבן (עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה, רק בסוף).

\displaystyle BC

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

שטח המלבן

מה היחס בין שטח המשולש $\displaystyle EBF$ לשטח המלבן $\displaystyle ABCD$ ?
הסבירו בלי לחשב שטחים.

תרגיל 2

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים $\displaystyle BC$ ו- $\displaystyle AD$ , ו- $\displaystyle BC<AD$ .
$\displaystyle {AB}={BC}$ , והאלכסון $\displaystyle AC$ שווה לשוק $\displaystyle CD$ .
הוכיחו: האלכסון $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle BAD$ .

נתון גם: $\displaystyle {\angle CAD}={30^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {AB}={5}$ .
חשבו בדיוק.

שטח המשולש

\displaystyle ABC

\displaystyle AC

שטח הטרפז

\displaystyle ABCD

תרגיל 3

בטרפז שווה השוקיים $\displaystyle ABCD$ ( $\displaystyle BC\parallel AD$ ), $\displaystyle EF$ קטע האמצעים.
האלכסון $\displaystyle AC$ חותך את קטע האמצעים בנקודה $\displaystyle G$ , כך ש- $\displaystyle {EG:GF}={1:3}$ .
$\displaystyle {EG}={3}$ ו- $\displaystyle {\angle CDA}={50^{\circ}}$ .
חשבו (עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה, רק בסוף).

\displaystyle AD

גובה הטרפז

שטח הטרפז

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$