משולשים דומים: משפטי הדמיון והוכחות

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 5 מתוך 20לימוד

משולשים דומים: משפטי הדמיון והוכחות

משולשים דומים

שני משולשים דומים כשהזוויות המתאימות בהם שוות, והצלעות המתאימות באותו יחס. היחס הזה הוא יחס הדמיון, $\displaystyle k$ :

\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k

$\displaystyle k>1$ – המשולש הראשון הגדלה של השני; $\displaystyle k<1$ – הקטנה; $\displaystyle {k}={1}$ – המשולשים חופפים;
כותבים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ , וקוראים “המשולש $\displaystyle ABC$ דומה למשולש $\displaystyle DEF$ ”.

משפטי הדמיון

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, מספיק אחד משלושת משפטי הדמיון:

ז.ז – שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני;
צ.ז.צ – שתי צלעות במשולש אחד מתייחסות כמו שתי צלעות במשולש השני, והזוויות שביניהן שוות;
צ.צ.צ – שלוש הצלעות של משולש אחד מתייחסות כמו שלוש הצלעות של המשולש השני.

מהדמיון מסיקים את מה שעוד לא ידוע: הזוויות המתאימות האחרות שוות, והצלעות המתאימות האחרות באותו יחס.

הסדר של האותיות

הזוויות השוות:

\displaystyle {\angle A}={\angle D}

\displaystyle {\angle B}={\angle E}

\displaystyle {\angle C}={\angle F}

ב- $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ האותיות כתובות לפי ההתאמה: הראשונה מתאימה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית. לכן מהכתיבה עצמה קוראים את הצלעות המתאימות:

\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}

קטע המקביל לצלע

נתון: במשולש $\displaystyle ABC$ , הנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AB$ והנקודה $\displaystyle F$ על $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle EF\parallel BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle \triangle AEF\sim\triangle ABC$ .

בהוכחה שלפניכם נמצא שני זוגות של זוויות שוות – הזוויות המתאימות בין הישרים המקבילים – ונשתמש במשפט ז.ז.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle EF\parallel BC$	נתון
2	$\displaystyle {\angle AEF}={\angle ABC}$	(1); זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
3	$\displaystyle {\angle AFE}={\angle ACB}$	(1); זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
4	$\displaystyle \triangle AEF\sim\triangle ABC$	(2), (3); משפט הדמיון ז.ז

מכאן $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}={\frac{AF}{AC}}={\frac{EF}{BC}}$ : קטע המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש דומה.

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ , הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ והנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle {AD}={\frac{1}{3}AB}$ ו- $\displaystyle {AE}={\frac{1}{3}AC}$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC$ .

תרגיל 2

משולש $\displaystyle ABC$ שווה שוקיים: $\displaystyle {AC}={BC}$ .
הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AC$ והנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle {CD}={\frac{1}{3}AC}$ ו- $\displaystyle {CE}={\frac{1}{3}BC}$ .
הוכיחו ש- $\displaystyle ADEB$ טרפז: $\displaystyle DE\parallel AB$ .

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ , הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ והנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle DE\parallel BC$ .
$\displaystyle {AD}={4}$ , $\displaystyle {DB}={6}$ ו- $\displaystyle {DE}={5}$ .
חשבו את $\displaystyle BC$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה.
$\displaystyle CD$ הגובה ליתר $\displaystyle AB$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ADC\sim\triangle ACB$ .

תרגיל 5

במשולש ישר הזווית של תרגיל 4: $\displaystyle {AD}={2}$ ו- $\displaystyle {AB}={8}$ .
חשבו את $\displaystyle AC$ .
(רמז: מהדמיון, $\displaystyle {\frac{AD}{AC}}={\frac{AC}{AB}}$ .)

תרגיל 6

אורכי הצלעות של משולש אחד הם $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ ו- $\displaystyle 8$ .
אורכי הצלעות של משולש שני הם $\displaystyle 10$ , $\displaystyle 15$ ו- $\displaystyle 20$ .
האם המשולשים דומים?
אם כן – לפי איזה משפט, ומה יחס הדמיון?

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$