דלג לתוכן

יחס ההיקפים, השטחים והקווים המיוחדים

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

יחס ההיקפים, השטחים והקווים המיוחדים

ההיקפים והשטחים

במשולשים דומים ביחס k\displaystyle k כל צלע של המשולש הראשון היא k\displaystyle k פעמים הצלע המתאימה בשני. מכאן:

  • ההיקפים – סכום של צלעות, כל אחת פי k\displaystyle k, ולכן גם ההיקף פי k\displaystyle k:
P1P2\displaystyle \frac{P_1}{P_2} =\displaystyle = k\displaystyle k
  • השטחים – צלע כפול גובה: שניהם פי k\displaystyle k, ולכן השטח פי k2\displaystyle k^{2}:
S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\displaystyle = k2\displaystyle k^{2}
הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות

משפט: במשולשים דומים, היחס בין גבהים מתאימים, בין תיכונים מתאימים ובין חוצי זוויות מתאימים שווה ליחס הדמיון.

h1h2=m1m2=d1d2=k\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k

נתון: △ABC∼△KLM\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle KLM; CD\displaystyle CD ו-MN\displaystyle MN גבהים מתאימים.
צריך להוכיח: CDMN=ACKM\displaystyle {\frac{CD}{MN}}={\frac{AC}{KM}} – כלומר, יחס הגבהים הוא יחס הדמיון.

בהוכחה שלפניכם נמצא זוג משולשים ישרי זווית דומים – ADC\displaystyle ADC ו-KNM\displaystyle KNM – והגבהים יהיו צלעות מתאימות בהם.

טענהנימוק
1∠CAB=∠MKL\displaystyle {\angle CAB}={\angle MKL}נתון (△ABC∼△KLM\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle KLM)
2∠CDA=∠MNK\displaystyle {\angle CDA}={\angle MNK}CD\displaystyle CD ו-MN\displaystyle MN גבהים – שתי הזוויות ישרות
3△ADC∼△KNM\displaystyle \triangle ADC\sim\triangle KNM(1), (2); משפט הדמיון ז.ז
4CDMN=ACKM\displaystyle {\frac{CD}{MN}}={\frac{AC}{KM}}(3); צלעות מתאימות במשולשים דומים

כך גם בתיכונים (תרגיל 4) ובחוצי זוויות: מוצאים זוג משולשים דומים שהקו המיוחד הוא צלע בהם.

דוגמה: מיחס השטחים ליחס הדמיון

שני משולשים דומים. שטח האחד 12\displaystyle 12, ושטח השני 48\displaystyle 48. הגובה של המשולש הקטן לצלע מסוימת הוא 3\displaystyle 3.

  • k2=4812=4\displaystyle {k^{2}}={\frac{48}{12}}={4}, ולכן k=2\displaystyle {k}={2};
  • הגובה המתאים במשולש הגדול: 2⋅3=6\displaystyle {2\cdot3}={6};
  • ההיקף של הגדול פי 2\displaystyle 2 מההיקף של הקטן, והשטח פי 4\displaystyle 4.
תרגיל 1

ההיקפים של שני משולשים דומים הם 24\displaystyle 24 ו-36\displaystyle 36.
שטח המשולש הגדול 81\displaystyle 81.

א
יחס הדמיון, הקטן לגדול

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    שטח המשולש הקטן

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 9:25\displaystyle 9:25.
      אורך תיכון במשולש הקטן 6\displaystyle 6.
      מה אורך התיכון המתאים במשולש הגדול?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        במשולש ABC\displaystyle ABC חסום המלבן EFGH\displaystyle EFGH: E\displaystyle E על הצלע AB\displaystyle AB, F\displaystyle F על הצלע AC\displaystyle AC, ו-G\displaystyle G, H\displaystyle H על הצלע BC\displaystyle BC.
        AD\displaystyle AD הגובה לצלע BC\displaystyle BC, והוא חותך את EF\displaystyle EF בנקודה M\displaystyle M.
        AD=15\displaystyle {AD}={15}, BC=27\displaystyle {BC}={27}, ו-AF:FC=1:2\displaystyle {AF:FC}={1:2}.

        הוכיחו: △AEF∼△ABC\displaystyle \triangle AEF\sim\triangle ABC.

        חשבו את EF\displaystyle EF, את AM\displaystyle AM ואת שטח המלבן EFGH\displaystyle EFGH.
        (רמז: AM\displaystyle AM הגובה במשולש AEF\displaystyle AEF.)

        EF\displaystyle EF

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          AM\displaystyle AM

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            שטח המלבן

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              △ABC∼△KLM\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle KLM.
              AP\displaystyle AP התיכון לצלע BC\displaystyle BC, ו-KQ\displaystyle KQ התיכון המתאים לצלע LM\displaystyle LM.
              הוכיחו: APKQ=ABKL\displaystyle {\frac{AP}{KQ}}={\frac{AB}{KL}}.
              (רמז: הוכיחו קודם △ABP∼△KLQ\displaystyle \triangle ABP\sim\triangle KLQ.)