דלג לתוכן

השיפוע כטנגנס של זווית

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 14 מתוך 20לימוד

השיפוע כטנגנס של זווית

השיפוע והזווית

ישר שאינו מקביל לצירים יוצר עם ציר ה-x\displaystyle x זווית חדה α\displaystyle \alpha. השינוי ב-x\displaystyle x והשינוי ב-y\displaystyle y בין שתי נקודות שלו הם הניצבים של משולש ישר זווית שבו α\displaystyle \alpha אחת הזוויות, ולכן היחס ביניהם – השיפוע – הוא הטנגנס שלה:

m\displaystyle m =\displaystyle = tan⁡α\displaystyle \tan\alpha
y=2x−2\displaystyle y=2x-2
A=(1,0)\displaystyle A=(1,0)
B=(3,4)\displaystyle B=(3,4)

בשרטוט, הישר y=2x−2\displaystyle {y}={2x-2} חותך את ציר ה-x\displaystyle x ב-A(1,0)\displaystyle A(1,0):

  • מ-A\displaystyle A ל-B(3,4)\displaystyle B(3,4): הניצב לאורך ציר ה-x\displaystyle x הוא 2\displaystyle 2, והניצב המאונך לו 4\displaystyle 4;
  • tan⁡α=42=2\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{4}{2}}={2} – השיפוע;
  • α=tan⁡−12≈63.43∘\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}2\approx63.43^{\circ}}.
ישר יורד

לישר יורד יש שיפוע שלילי, והזווית החדה שבינו לבין ציר ה-x\displaystyle x נותנת את גודל השיפוע: השיפוע הוא −tan⁡α\displaystyle -\tan\alpha.

  • y=x\displaystyle {y}={x} – ישר עולה, tan⁡α=1\displaystyle {\tan\alpha}={1}, ו-α=45∘\displaystyle {\alpha}={45^{\circ}};
  • y=−3x+2\displaystyle {y}={-\sqrt{3}x+2} – ישר יורד, tan⁡α=3\displaystyle {\tan\alpha}={\sqrt{3}}, ו-α=60∘\displaystyle {\alpha}={60^{\circ}};
  • ישר המקביל לציר ה-x\displaystyle x – שיפוע 0=tan⁡0∘\displaystyle {0}={\tan0^{\circ}}; ישר המקביל לציר ה-y\displaystyle y – זווית של 90∘\displaystyle 90^{\circ}, ו-tan⁡90∘\displaystyle \tan90^{\circ} אינו מוגדר, כמו השיפוע שלו.
תרגיל 1

מצאו את הזווית החדה שבין הישר לציר ה-x\displaystyle x.
בדיוק כשאפשר; אחרת – עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א
y=x+3\displaystyle {y}={x+3}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    y=3x\displaystyle {y}={3x}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      y=−0.5x+1\displaystyle {y}={-0.5x+1}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        ישר עולה עובר דרך הנקודה P(1,2)\displaystyle P(1,2), והזווית שבינו לבין ציר ה-x\displaystyle x היא 45∘\displaystyle 45^{\circ}.
        כתבו את משוואת הישר.

        P=(1,2)\displaystyle P=(1,2)

        תרגיל 3

        ישר יורד עובר דרך ראשית הצירים, והזווית שבינו לבין ציר ה-x\displaystyle x היא 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
        כתבו את משוואת הישר, בדיוק.

        זוויות של משולש במערכת צירים

        כשצלע של משולש על ציר ה-x\displaystyle x, כל אחת משתי הזוויות שלידה היא הזווית שבין צלע אחרת לציר ה-x\displaystyle x – והשיפוע של הצלע הזו נותן אותה.

        דוגמה: A(−2,0)\displaystyle A(-2,0), B(4,0)\displaystyle B(4,0), C(0,4)\displaystyle C(0,4).

        • mAC=4−00−(−2)=2\displaystyle {m_{AC}}={\frac{4-0}{0-(-2)}}={2}, ולכן ∠A=tan⁡−12≈63.43∘\displaystyle {\angle A}={\tan^{-1}2\approx63.43^{\circ}};
        • mBC=4−00−4=−1\displaystyle {m_{BC}}={\frac{4-0}{0-4}}={-1}: ישר יורד, ו-tan⁡∠B=1\displaystyle {\tan\angle B}={1}, ולכן ∠B=45∘\displaystyle {\angle B}={45^{\circ}};
        • ∠C=180∘−63.43∘−45∘=71.57∘\displaystyle {\angle C}={180^{\circ}-63.43^{\circ}-45^{\circ}}={71.57^{\circ}}.
        תרגיל 4

        קודקודי המשולש ABC\displaystyle ABC הם A(0,0)\displaystyle A(0,0), B(6,0)\displaystyle B(6,0) ו-C(4,5)\displaystyle C(4,5).
        חשבו את זוויות המשולש, בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        א
        ∠A\displaystyle \angle A

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          ∠B\displaystyle \angle B

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            ∠C\displaystyle \angle C

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 5

              בלוח הישרים y=x\displaystyle {y}={x} ו-y=12x\displaystyle {y}={\frac{1}{2}x}.
              מצאו את הזווית שביניהם: ההפרש בין הזוויות שהם יוצרים עם ציר ה-x\displaystyle x.
              האם הטנגנס של הזווית הזו שווה להפרש בין השיפועים, 1−12\displaystyle 1-\frac{1}{2}?
              מה המסקנה?

              y=x\displaystyle y=x
              y=12x\displaystyle y=\frac{1}{2}x

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה