שיפוע ומשוואת הישר

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 2 מתוך 20לימוד

שיפוע ומשוואת הישר

השיפוע מתוך שתי נקודות

השיפוע של ישר הוא היחס בין השינוי ב- $\displaystyle y$ לשינוי ב- $\displaystyle x$ , כשעוברים מנקודה אחת של הישר לנקודה אחרת שלו. היחס הזה זהה לכל שתי נקודות על הישר, ולכן כל שתי נקודות נותנות אותו.

\displaystyle m

\displaystyle =

\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

\displaystyle x_1\neq x_2

\displaystyle y=2x-1

\displaystyle A=(1,1)

\displaystyle B=(4,7)

בשרטוט, הישר עובר דרך $\displaystyle A(1,1)$ ו- $\displaystyle B(4,7)$ :

מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ , $\displaystyle y$ עולה ב- $\displaystyle {7-1}={6}$ , ו- $\displaystyle x$ גדל ב- $\displaystyle {4-1}={3}$ ;
$\displaystyle {m}={\frac{6}{3}}={2}$ : על כל צעד ימינה, הישר עולה $\displaystyle 2$ .

הסימן של השיפוע

הסימן של השיפוע אומר לאן הישר הולך, כשקוראים אותו משמאל לימין:

\displaystyle y=x+1

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+3

\displaystyle y=-2

\displaystyle x=3

שיפוע חיובי – הישר עולה ( $\displaystyle {y}={x+1}$ );
שיפוע שלילי – הישר יורד ( $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+3}$ );
שיפוע $\displaystyle 0$ – הישר מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ : לכל הנקודות שלו אותו $\displaystyle y$ , ומשוואתו $\displaystyle {y}={-2}$ ;
ישר המקביל לציר ה- $\displaystyle y$ : לכל הנקודות שלו אותו $\displaystyle x$ , ומשוואתו $\displaystyle {x}={3}$ . ל- $\displaystyle x$ אין שם שינוי, המכנה בנוסחת השיפוע הוא $\displaystyle 0$ , ולכן אין לישר כזה שיפוע.

תרגיל 1

חשבו את השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות.

\displaystyle (2,3)

\displaystyle (6,11)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle (-1,4)

\displaystyle (3,-2)

\displaystyle (0,5)

\displaystyle (4,5)

הצורה המפורשת והצורה הסתומה

משוואה של ישר כתובה באחת משתי צורות:

צורה מפורשת – $\displaystyle y$ לבד באגף אחד; $\displaystyle m$ השיפוע, ו- $\displaystyle b$ שיעור ה- $\displaystyle y$ של הנקודה שבה הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ :

\displaystyle y

\displaystyle =

\displaystyle mx+b

צורה סתומה – כל האיברים באגף אחד:

\displaystyle Ax+By+C

\displaystyle =

\displaystyle 0

מהצורה הסתומה עוברים לצורה המפורשת כשמבודדים את $\displaystyle y$ :

2x+3y-6=0\quad\Rightarrow\quad 3y=-2x+6\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2}{3}x+2

השיפוע של הישר $\displaystyle -\frac{2}{3}$ , והוא חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ ב- $\displaystyle (0,2)$ .

תרגיל 2

בלוח מצויר הישר $\displaystyle {4x-2y+2}={0}$ .
כתבו את משוואתו בצורה מפורשת.

\displaystyle 4x-2y+2=0

ישר לפי שיפוע ונקודה

דרך נקודה נתונה עובר ישר אחד בלבד בכל שיפוע: שני ישרים באותו שיפוע מקבילים, ודרך נקודה שמחוץ לישר עובר רק ישר אחד המקביל לו. לכן שיפוע ונקודה קובעים ישר אחד, ומשוואתו:

\displaystyle y-y_1

\displaystyle =

\displaystyle m(x-x_1)

דוגמה: הישר ששיפועו $\displaystyle 3$ ועובר דרך $\displaystyle (2,-1)$ :

y-(-1)=3(x-2)\quad\Rightarrow\quad y+1=3x-6\quad\Rightarrow\quad y=3x-7

בדיקה: $\displaystyle {3\cdot2-7}={-1}$ , והנקודה על הישר.

תרגיל 3

שיפוע הישר $\displaystyle -2$ , והוא עובר דרך הנקודה $\displaystyle P(1,4)$ .
כתבו את משוואת הישר בצורה מפורשת.

\displaystyle P=(1,4)

ישר לפי שתי נקודות

דרך שתי נקודות עובר ישר אחד ויחיד. את משוואתו מוצאים בשני צעדים: השיפוע מתוך שתי הנקודות, ואחר כך ישר לפי השיפוע ואחת הנקודות.

דוגמה: הישר שעובר דרך $\displaystyle A(-1,5)$ ו- $\displaystyle B(3,-3)$ :

$\displaystyle {m}={\frac{-3-5}{3-(-1)}}={\frac{-8}{4}}={-2}$ ;
דרך $\displaystyle A$ : $\displaystyle {y-5}={-2(x+1)}$ , ולכן $\displaystyle {y}={-2x+3}$ ;
בדיקה ב- $\displaystyle B$ : $\displaystyle {-2\cdot3+3}={-3}$ .

תרגיל 4

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך הנקודות $\displaystyle A(-2,-1)$ ו- $\displaystyle B(2,7)$ .

\displaystyle A=(-2,-1)

\displaystyle B=(2,7)

תרגיל 5

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך הנקודות $\displaystyle A(-3,2)$ ו- $\displaystyle B(5,-2)$ .

\displaystyle A=(-3,2)

\displaystyle B=(5,-2)

נקודה על ישר

נקודה נמצאת על ישר כשהשיעורים שלה מקיימים את משוואתו: מציבים את $\displaystyle x$ שלה, ומקבלים את $\displaystyle y$ שלה.

$\displaystyle (2,5)$ על הישר $\displaystyle {y}={3x-1}$ : $\displaystyle {3\cdot2-1}={5}$ ;
$\displaystyle (1,4)$ לא על הישר: $\displaystyle {3\cdot1-1}={2\neq4}$ .

תרגיל 6

נתון הישר $\displaystyle {y}={-2x+5}$ .

האם הנקודה $\displaystyle (3,-1)$ נמצאת על הישר?
ואם הנקודה $\displaystyle (-1,3)$ ?
הסבירו.

הנקודה $\displaystyle (a,-7)$ נמצאת על הישר.
מצאו את $\displaystyle a$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$