דלג לתוכן

ערכים מדויקים וקשרים בין הפונקציות

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

ערכים מדויקים וקשרים בין הפונקציות

הזווית 45°

במשולש ישר זווית שווה שוקיים שתי הזוויות החדות הן 45∘\displaystyle 45^{\circ}. אם הניצבים באורך 1\displaystyle 1, היתר לפי משפט פיתגורס הוא 12+12=2\displaystyle {\sqrt{1^{2}+1^{2}}}={\sqrt{2}}.

  • sin⁡45∘=cos⁡45∘=12=22\displaystyle {\sin45^{\circ}}={\cos45^{\circ}}={\frac{1}{\sqrt{2}}}={\frac{\sqrt{2}}{2}} – כופלים את המונה ואת המכנה ב-2\displaystyle \sqrt{2}, ומקבלים מכנה בלי שורש;
  • tan⁡45∘=11=1\displaystyle {\tan45^{\circ}}={\frac{1}{1}}={1}.
הזוויות 30° ו-60°

חצי של משולש שווה צלעות הוא משולש ישר זווית עם זוויות של 30∘\displaystyle 30^{\circ} ו-60∘\displaystyle 60^{\circ}. אם היתר באורך 2\displaystyle 2, הניצב מול 30∘\displaystyle 30^{\circ} הוא מחצית היתר, 1\displaystyle 1, והניצב השני 22−12=3\displaystyle {\sqrt{2^{2}-1^{2}}}={\sqrt{3}}.

  • sin⁡30∘=12\displaystyle {\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}}, cos⁡30∘=32\displaystyle {\cos30^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}, tan⁡30∘=13=33\displaystyle {\tan30^{\circ}}={\frac{1}{\sqrt{3}}}={\frac{\sqrt{3}}{3}};
  • sin⁡60∘=32\displaystyle {\sin60^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}, cos⁡60∘=12\displaystyle {\cos60^{\circ}}={\frac{1}{2}}, tan⁡60∘=31=3\displaystyle {\tan60^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{1}}={\sqrt{3}}.
טבלת הערכים המדויקים
30∘\displaystyle 30^{\circ}45∘\displaystyle 45^{\circ}60∘\displaystyle 60^{\circ}
sin⁡\displaystyle \sin12\displaystyle \frac{1}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡\displaystyle \cos32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}12\displaystyle \frac{1}{2}
tan⁡\displaystyle \tan33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}1\displaystyle 13\displaystyle \sqrt{3}

בחישוב שממשיך הלאה כותבים את הערכים האלה ולא את הקירובים שלהם: 32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, ולא 0.87\displaystyle 0.87.

תרגיל 1

חשבו בדיוק, בעזרת הערכים שבטבלה.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          שני קשרים בין הפונקציות

          במשולש ישר זווית עם ניצבים a\displaystyle a, b\displaystyle b ויתר c\displaystyle c:

          • מחלקים את sin⁡α=ac\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{a}{c}} ב-cos⁡α=bc\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{b}{c}}: ה-c\displaystyle c מצטמצם, ונשאר ab\displaystyle \frac{a}{b} – הטנגנס:
          tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = sin⁡αcos⁡α\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
          • מעלים בריבוע ומחברים: sin⁡2α+cos⁡2α=a2+b2c2\displaystyle {\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}={\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}, ולפי משפט פיתגורס a2+b2=c2\displaystyle {a^{2}+b^{2}}={c^{2}}:
          sin⁡2α+cos⁡2α\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha =\displaystyle = 1\displaystyle 1

          sin⁡2α\displaystyle \sin^{2}\alpha הוא (sin⁡α)2\displaystyle (\sin\alpha)^{2}.

          שתי הזוויות החדות במשולש

          שתי הזוויות החדות במשולש ישר זווית משלימות זו את זו ל-90∘\displaystyle 90^{\circ}: אם האחת α\displaystyle \alpha, השנייה 90∘−α\displaystyle 90^{\circ}-\alpha. הניצב שמול האחת הוא הניצב שליד השנייה, ולכן:

          sin⁡(90∘−α)\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = cos⁡α\displaystyle \cos\alpha
          cos⁡(90∘−α)\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha

          למשל sin⁡60∘=cos⁡30∘\displaystyle {\sin60^{\circ}}={\cos30^{\circ}}, ו-cos⁡70∘=sin⁡20∘\displaystyle {\cos70^{\circ}}={\sin20^{\circ}}.

          תרגיל 2

          חשבו בעזרת הקשרים בין הפונקציות.
          בדקו במחשבון.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                α\displaystyle \alpha זווית חדה, ו-sin⁡α=35\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{3}{5}}.
                חשבו בדיוק.
                (רמז: cos⁡2α=1−sin⁡2α\displaystyle {\cos^{2}\alpha}={1-\sin^{2}\alpha}.)

                א
                cos⁡α\displaystyle \cos\alpha

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב
                  tan⁡α\displaystyle \tan\alpha

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    β\displaystyle \beta זווית חדה, ו-cos⁡β=13\displaystyle {\cos\beta}={\frac{1}{3}}.
                    חשבו בדיוק.

                    sin⁡β\displaystyle \sin\beta

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      tan⁡β\displaystyle \tan\beta

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה