דלג לתוכן

סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה

גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה

שלושה יחסים במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית, ליד כל זווית חדה α\displaystyle \alpha יש ניצב מול הזווית, ניצב ליד הזווית, ויתר – הצלע שמול הזווית הישרה. שלושת היחסים ביניהם הם הפונקציות הטריגונומטריות של α\displaystyle \alpha:

  • סינוס – הניצב מול הזווית חלקי היתר:
sin⁡α\displaystyle \sin\alpha =\displaystyle = ac\displaystyle \frac{a}{c}
  • קוסינוס – הניצב ליד הזווית חלקי היתר:
cos⁡α\displaystyle \cos\alpha =\displaystyle = bc\displaystyle \frac{b}{c}
  • טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב ליד הזווית:
tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = ab\displaystyle \frac{a}{b}

בשרטוט, ליד α\displaystyle \alpha: a\displaystyle a הניצב מולה, b\displaystyle b הניצב לידה, ו-c\displaystyle c היתר. בקורס הזה זוויות נמדדות במעלות, והמחשבון מכוון למעלות (DEG).

יחס שתלוי רק בזווית

בשני משולשים ישרי זווית שיש בהם אותה זווית חדה α\displaystyle \alpha, יש שתי זוויות שוות: הזווית הישרה ו-α\displaystyle \alpha. לכן הם דומים (ז.ז), והצלעות המתאימות שלהם באותו יחס:

BCAB=EFAE\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}

בשרטוט, ABC\displaystyle ABC ו-AEF\displaystyle AEF: הסינוס של α\displaystyle \alpha יוצא אותו מספר בשניהם, וכך גם הקוסינוס והטנגנס. הערכים תלויים רק בגודל הזווית, ולא בגודל המשולש – ולכן אפשר לתת אותם בטבלה או במחשבון.

תרגיל 1

במשולש ישר הזווית שבשרטוט, הניצבים 8\displaystyle 8 ו-15\displaystyle 15, והיתר 17\displaystyle 17.
כתבו את היחס כשבר מצומצם.

א
sin⁡α\displaystyle \sin\alpha

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    cos⁡α\displaystyle \cos\alpha

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      tan⁡α\displaystyle \tan\alpha

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד
        tan⁡B\displaystyle \tan B

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          הערכים כשהזווית גדלה

          היתר ארוך משני הניצבים, ולכן הסינוס והקוסינוס של זווית חדה הם בין 0\displaystyle 0 ל-1\displaystyle 1. כשזווית חדה גדלה מ-0∘\displaystyle 0^{\circ} ל-90∘\displaystyle 90^{\circ}, והיתר נשאר באותו אורך:

          • הניצב מולה מתארך – הסינוס עולה, מ-0\displaystyle 0 עד 1\displaystyle 1;
          • הניצב לידה מתקצר – הקוסינוס יורד, מ-1\displaystyle 1 עד 0\displaystyle 0;
          • הטנגנס עולה מ-0\displaystyle 0, בלי גבול: הניצב שלידה קרוב ל-0\displaystyle 0, והחלוקה בו נותנת מספרים גדולים מאוד.
          תרגיל 2

          חשבו במחשבון, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (השורה האחרונה מתחילה ב-≈\displaystyle \approx).

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ה

                  האם sin⁡40∘\displaystyle \sin40^{\circ} הוא פי 2\displaystyle 2 מ-sin⁡20∘\displaystyle \sin20^{\circ}?
                  ואם sin⁡80∘\displaystyle \sin80^{\circ} הוא פי 2\displaystyle 2 מ-sin⁡40∘\displaystyle \sin40^{\circ}?
                  מה זה אומר על sin⁡(2α)\displaystyle \sin(2\alpha) ועל 2sin⁡α\displaystyle 2\sin\alpha?

                  הזוויות 0° ו-90°

                  כשהזווית קרובה מאוד ל-0∘\displaystyle 0^{\circ}, המשולש שטוח: הניצב מולה כמעט 0\displaystyle 0, והניצב לידה כמעט באורך היתר. כשהיא קרובה ל-90∘\displaystyle 90^{\circ} – להפך. לכן מגדירים:

                  • sin⁡0∘=0\displaystyle {\sin0^{\circ}}={0}, cos⁡0∘=1\displaystyle {\cos0^{\circ}}={1}, tan⁡0∘=0\displaystyle {\tan0^{\circ}}={0};
                  • sin⁡90∘=1\displaystyle {\sin90^{\circ}}={1}, cos⁡90∘=0\displaystyle {\cos90^{\circ}}={0};
                  • tan⁡90∘\displaystyle \tan90^{\circ} אינו מוגדר: חלוקה ב-0\displaystyle 0.
                  זווית מתוך הסינוס שלה

                  בתחום שבין 0∘\displaystyle 0^{\circ} ל-90∘\displaystyle 90^{\circ} הסינוס עולה, ולכן לכל ערך שלו יש זווית חדה אחת בלבד. המחשבון מוצא אותה בכפתור sin⁡−1\displaystyle \sin^{-1} (ובאותו אופן cos⁡−1\displaystyle \cos^{-1}, tan⁡−1\displaystyle \tan^{-1}):

                  • sin⁡α=0.5\displaystyle {\sin\alpha}={0.5}, ולכן α=sin⁡−10.5=30∘\displaystyle {\alpha}={\sin^{-1}0.5}={30^{\circ}};
                  • tan⁡α=34\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{3}{4}}, ולכן α=tan⁡−134≈36.87∘\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\frac{3}{4}\approx36.87^{\circ}}.
                  תרגיל 3

                  מצאו את הזווית, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                  א

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        תרגיל 4

                        האם יש זווית חדה שהסינוס שלה 1.2\displaystyle 1.2?
                        ואם יש זווית חדה שהטנגנס שלה 1.2\displaystyle 1.2?
                        הסבירו.