זווית היקפית הנשענת על קוטר

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

זווית היקפית הנשענת על קוטר

זווית היקפית על קוטר

דרך נוספת: מעבירים את הרדיוס

\displaystyle OC

. המשולשים

\displaystyle AOC

ו-

\displaystyle BOC

שווי שוקיים, ולכן

\displaystyle {\angle ACB}={\angle A+\angle B}

. סכום הזוויות במשולש

\displaystyle ABC

הוא

\displaystyle 180^{\circ}

, כלומר

\displaystyle {2\angle ACB}={180^{\circ}}

משפט: במעגל, זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( $\displaystyle 90^{\circ}$ ).

נתון: $\displaystyle AB$ קוטר במעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , והנקודה $\displaystyle C$ על המעגל.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle ACB}={90^{\circ}}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהזווית המרכזית $\displaystyle \angle AOB$ היא זווית שטוחה, ונשתמש במשפט מהשיעור הקודם – זווית היקפית היא מחצית הזווית המרכזית:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle AOB}={180^{\circ}}$	$\displaystyle AB$ קוטר, ומרכז המעגל $\displaystyle O$ הוא האמצע שלו: $\displaystyle A$ , $\displaystyle O$ , $\displaystyle B$ על ישר אחד
2	$\displaystyle {\angle ACB}={\frac{1}{2}\angle AOB}$	זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
3	$\displaystyle {\angle ACB}={90^{\circ}}$	(1), (2)

המשפט ההפוך

משפט: במעגל, זווית היקפית בת $\displaystyle 90^{\circ}$ נשענת על קוטר.

זווית היקפית של $\displaystyle 90^{\circ}$ נשענת על קשת של $\displaystyle 180^{\circ}$ – חצי מעגל.
המיתר של חצי מעגל עובר דרך המרכז, ולכן הוא קוטר.

דוגמה: בדיקה במערכת צירים

נתון המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$ , שמרכזו $\displaystyle M(2,5)$ והרדיוס שלו $\displaystyle 5$ .
הנקודות $\displaystyle A(6,2)$ , $\displaystyle B(-2,8)$ ו- $\displaystyle C(5,9)$ .

\displaystyle (x-2)^{2}+(y-5)^{2}=25

\displaystyle y=-7x+44

\displaystyle y=\frac{1}{7}x+\frac{58}{7}

\displaystyle M=(2,5)

\displaystyle A=(6,2)

\displaystyle B=(-2,8)

\displaystyle C=(5,9)

$\displaystyle A$ על המעגל: $\displaystyle {(6-2)^{2}+(2-5)^{2}}={16+9}={25}$ . כך גם $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle C$ .
$\displaystyle AB$ קוטר: האמצע של $\displaystyle AB$ הוא $\displaystyle {\left(\frac{6+(-2)}{2},\frac{2+8}{2}\right)}={(2,5)}$ – מרכז המעגל.
השיפועים: $\displaystyle {m_{AC}}={\frac{9-2}{5-6}}={-7}$ ו- $\displaystyle {m_{BC}}={\frac{9-8}{5-(-2)}}={\frac{1}{7}}$ .
המכפלה שלהם $\displaystyle {-7\cdot\frac{1}{7}}={-1}$ , ולכן $\displaystyle AC\perp BC$ : הזווית $\displaystyle \angle ACB$ ישרה, כמו שהמשפט אומר.

תרגיל 1

במעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$ מהדוגמה, $\displaystyle AB$ הקוטר: $\displaystyle A(6,2)$ , $\displaystyle B(-2,8)$ .
נתונה הנקודה $\displaystyle D(5,1)$ .

הציבו את

\displaystyle D

באגף השמאלי של משוואת המעגל. האם

\displaystyle D

על המעגל?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את השיפוע של

\displaystyle AD

חשבו את השיפוע של

\displaystyle BD

מה הגודל של $\displaystyle \angle ADB$ ? נמקו.

היתר הוא קוטר

מהמשפט ההפוך: במשולש ישר זווית, היתר הוא קוטר של המעגל החוסם את המשולש – המעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים.

מרכז המעגל הוא אמצע היתר, והרדיוס הוא מחצית היתר.
זו גם התכונה מכיתה י’: התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

תרגיל 2

הניצבים של משולש ישר זווית הם $\displaystyle 6$ ס"מ ו- $\displaystyle 8$ ס"מ.
המשולש חסום במעגל.

מה אורך היתר, בס"מ?

מה הרדיוס של המעגל, בס"מ?

תרגיל 3

$\displaystyle AB$ קוטר, והנקודה $\displaystyle C$ על המעגל.
$\displaystyle {\angle CAB}={35^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle \angle CBA$ .

תרגיל 4

$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle EF$ שני קטרים במעגל שמרכזו $\displaystyle O$ .
הוכיחו: המרובע $\displaystyle AEBF$ הוא מלבן.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$